Pole trójkąta. Podane współrzędne dwóch wierzchołków.

[lolek92]

Dane są punkty A=(2,1) i B=(5,2). Na prostej o rownaniu x-y-1=0 wyznacz taki punkt M, aby pole trójkata MAB było rowne 5

[JakimPL]

\(\displaystyle{ A=(2,1), \ B=(5,2), \ x-y-1=0 \Leftrightarrow y=x-1}\)

Zauważmy przede wszystkim, że punkt \(\displaystyle{ A}\) leży na podanej prostej. Z tego wynika fakt, iż wysokość trójkąta jest stała i możemy wyznaczyć jej długość. Musimy wyznaczyć równanie prostej prostopadłej \(\displaystyle{ y=x-1}\) przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ B}\):

\(\displaystyle{ a_1 = 1, \ a_1 \cdot a_2 = -1 \Rightarrow a_2 = -1}\)

\(\displaystyle{ 2 = 5 \cdot (-1) + b \\ b = 7}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ N}\) jako punkt przecięcia tych prostych:
\(\displaystyle{ x-1 = -x+7\\x=4\\f(4)=3}\)

Zatem punkt \(\displaystyle{ N=(4,3)}\).

Wzór naszej prostopadłej to: \(\displaystyle{ y = -x + 7}\). Wyliczmy teraz długość odcinka \(\displaystyle{ NB}\) (to jest ta nasza wysokość):

\(\displaystyle{ h = \sqrt{\left(x_N-x_B\right)^2+\left(y_N-y_B\right)^2}= \sqrt{\left(4-5\right)^2+\left(3-2\right)^2}= \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}}\)

Zajmijmy się kwestią pola trójkąta. Skoro wysokość ma długość \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) to pole zgodnie z klasycznym wzorem:

\(\displaystyle{ P_{MAB} = \frac{1}{2} ah = \frac{\sqrt{2}}{2} a \\ P_{MAB}=5 \Rightarrow 5 = \frac{\sqrt{2}}{2} a \\ a=5\sqrt{2}}\)

Istnieją dwa takie punkty na prostej \(\displaystyle{ y=x-1}\), które spełniają warunek \(\displaystyle{ |MA| = 5\sqrt{2}}\). Skorzystajmy z tych faktów:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=x-1 \\ 5\sqrt{2} = \sqrt{\left(x_A-x_M\right)^2+\left(y_A-y_M\right)^2} \end{cases}}\)

Wystarczy w drugim równaniu podać wartości \(\displaystyle{ x_A}\), \(\displaystyle{ y_A}\), za \(\displaystyle{ y=x-1}\) i już tylko obliczyć.

[norbert92]

Witam zrobiłem to zadanie identycznie do tego momentu i mi nie wychodzi ta ostatnia faza;/ delta mi wychodzi 96 a zauwazylem ze powinna 100 moze ktos to rozpisać?

[Vax]

Zdecydowanie szybszy sposób:

\(\displaystyle{ M(x , x-1)}\)

\(\displaystyle{ \vec{AB} = [3 , 1]}\)

\(\displaystyle{ \vec{AM} = [x-2 , x-2]}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2}|det(\vec{AB},\vec{AM})| = \frac{1}{2}|2x-4| = |x-2|}\)

\(\displaystyle{ |x-2| = 5 \Leftrightarrow x=7 \vee x=-3}\)

Czyli współrzędne punktu M to \(\displaystyle{ M(-3 ; -4) \vee M(7 ; 6)}\)

Pozdrawiam.