Wierzchołki czworokąta mają współrzędne:
A=(3,1), B=(7,9), C=(6,16), D=(2,8)
a) Sprawdź, czy czworokąt ABCD jest równoległobokiem
b) Wyznacz współrzędne punktu E, w którym wysokość poprowadzona z wierzchołka D przecina bok AB
c) Obliczyć pole czworokąta ABCD
d) Obliczyć sinα, gdzie α jest kątem przy wierzchołku A czworokąta ABCD
Jak ktoś może to policzyć
Z góry dziękuję
zadanko ze starej matury
-
baksio
- Użytkownik
- Posty: 464
- Rejestracja: 31 maja 2006, o 22:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość/Kraków
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 136 razy
zadanko ze starej matury
Aby był równoległobokiem to odpowiednie długości boków muszą być równe czyli:
a) jak \(\displaystyle{ A=[x_{1}, y_{1}] \quad B=[x_{2},y_{2}]}\) to długość liczymy \(\displaystyle{ |AB| = sqrt{(x_{2}^2-x_{1}^2) + (y_{2}^2-y_{1}^2)}\)
\(\displaystyle{ |AB| = |DC|}\)
\(\displaystyle{ |AD| = |BC|}\)
\(\displaystyle{ |AB| = sqrt{80} \quad |DC|= sqrt{80}}\)
\(\displaystyle{ |AD| = sqrt{50} \quad |BC| = sqrt{50}}\)
Czyli ten czworokąt jest równoległobokiem.
b)
równanie prostej AB: (podstawiamy te 2 pkt i rozwiązujemy układ równań )
\(\displaystyle{ y=ax + b}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}1=3a+b\\9=7a+b\end{array}}\) wychodzi nam:
\(\displaystyle{ y= 2x - 5}\)
równanie prostej przechodzącej przez pkt D i prostopadłej do AB: (prostopadła prosta jest wtedy gdy jej współczynnik \(\displaystyle{ a_{2}=- \frac{1}{a_{1}}}\) czyli.
\(\displaystyle{ y= - \frac{1}{2}x+b}\) podstawiamy punkt D i wychodzi nam:
\(\displaystyle{ y =-\frac{1}{2}x + 9}\)
Teraz układ równan i wychodzi nam pkt przeciecią się prostych czyli pkt. E:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}y=2x-5\\y=-\frac{1}{2}x+9\end{array}}\)
c) mając pkt. E możemy policzyć długośc wysokości DE i skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ P=a*h}\)
d)
\(\displaystyle{ sin = \frac{|DE|}{|AD|}}\)
a) jak \(\displaystyle{ A=[x_{1}, y_{1}] \quad B=[x_{2},y_{2}]}\) to długość liczymy \(\displaystyle{ |AB| = sqrt{(x_{2}^2-x_{1}^2) + (y_{2}^2-y_{1}^2)}\)
\(\displaystyle{ |AB| = |DC|}\)
\(\displaystyle{ |AD| = |BC|}\)
\(\displaystyle{ |AB| = sqrt{80} \quad |DC|= sqrt{80}}\)
\(\displaystyle{ |AD| = sqrt{50} \quad |BC| = sqrt{50}}\)
Czyli ten czworokąt jest równoległobokiem.
b)
równanie prostej AB: (podstawiamy te 2 pkt i rozwiązujemy układ równań )
\(\displaystyle{ y=ax + b}\)
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}1=3a+b\\9=7a+b\end{array}}\) wychodzi nam:
\(\displaystyle{ y= 2x - 5}\)
równanie prostej przechodzącej przez pkt D i prostopadłej do AB: (prostopadła prosta jest wtedy gdy jej współczynnik \(\displaystyle{ a_{2}=- \frac{1}{a_{1}}}\) czyli.
\(\displaystyle{ y= - \frac{1}{2}x+b}\) podstawiamy punkt D i wychodzi nam:
\(\displaystyle{ y =-\frac{1}{2}x + 9}\)
Teraz układ równan i wychodzi nam pkt przeciecią się prostych czyli pkt. E:
\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}y=2x-5\\y=-\frac{1}{2}x+9\end{array}}\)
c) mając pkt. E możemy policzyć długośc wysokości DE i skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ P=a*h}\)
d)
\(\displaystyle{ sin = \frac{|DE|}{|AD|}}\)