Rownanie prostej m, srodek odcinka (Pazdro).

[Velitus]

Dane sa proste k: y=3x+8 i l: 0.5x+3 oraz punkt S(1,5). Wyznacz rownanie prostej m, do ktorej nalezy punkt S i ktora przecina proste k, l odpowiednio w punktach C, D, takich, ze punkt S jest srodkiem odcinka CD.

Probowalem roznymi sposobami i nici :/

[Kartezjusz]

Wybierzmy po punkcie z tych prostych . To są punkty
A=(x,3x+8) B=(y,5y+3) , S=(1,5)
S jest takim punktem,że jak dodamy odpowiednie współrzędne A i B i podzielimy przez 2 to otrzymamy współrzędne S (bo S jest środkiem |AB|)
Mamy układ równań:\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x+y}{2}=1 \\ \frac{(3x+8)+(5y+3)}{2}=5 rownan \end{cases}}\)Układ liniowy prosty.

[erina]

Niech to równanie ma postać \(\displaystyle{ ax+by=c}\) (bierzemy najogólniejszą postać, na wypadek, gdyby szukana prosta była pionowa lub pozioma)
Wtedy skoro \(\displaystyle{ S \in m}\), to \(\displaystyle{ c=a+5b}\)
Obliczmy współrzędne C i D:
C:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
y_c=3x_c+8 \\
ax_c+bx_c= a+5b
\end{cases}}\)
Rozwiązujemy układ i dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_c= \frac{a-3b}{a+3b} \\
y_c= \frac{11a+15b}{a+3b}
\end{cases}}\)

Analogicznie obliczamy współrzędne D i dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_d= \frac{2a+4b}{2a+b} \\
y_d= \frac{7a+5b}{2a+b}
\end{cases}}\)

Czyli środek odcinka CD ma współrzędne:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x_s= ( \frac{2a+4b}{2a+b}+ \frac{a-3b}{a+3b})/2 \\
y_s= (\frac{7a+5b}{2a+b} + \frac{11a+15b}{a+3b})/2
\end{cases}\\ \\
\begin{cases}
x_s= \frac{4a^2+5ab+9b^2}{4a^2+14ab+6b^2} \\
y_s= \frac{29a^2+67ab+30b^2}{4a^2+14ab+6b^2}
\end{cases}}\)
Dostajemy więc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\frac{4a^2+5ab+9b^2}{4a^2+14ab+6b^2}=1 \\
\frac{29a^2+67ab+30b^2}{4a^2+14ab+6b^2}=5
\end{cases}\\ \\
\begin{cases}
4a^2+5ab+9b^2=4a^2+14ab+6b^2 \\
29a^2+67ab+30b^2=20a^2+70ab+30b^2
\end{cases} \\ \\
\begin{cases}
5ab+9b^2=14ab+6b^2 \\
29a^2+67ab=20a^2+70ab
\end{cases} \\ \\
\begin{cases}
9a=3b \vee b=0 \\
9a=3b \vee a=0
\end{cases}}\)
Żeby to było sensowne równanie prostej, to a i b nie mogą być naraz 0, więc mamy
\(\displaystyle{ m:x+3y=16}\) (zauważmy, ze skalowanie a i b naraz przez stałą nie zmienia nam tej prostej, wzięłam takie wartości, dla których wzór jest ładny.)