równanie okręgu symetrycznego do danego względem prostej

[saviol7]

Dany jest okrąg \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - 2x - 4y -11=0}\) i prosta L \(\displaystyle{ x-y - 3=0}\) . Wyznacz równanie okręgu symetrycznego do danego względem prostej L.

[rodzyn7773]

Sprowadź okrąg do postaci kanonicznej. Środek okręgu odbij symetrycznie względem podanej prostej. Będzie to środek szukanego okręgu. Promień się nie zmieni.

[saviol7]

Sprowadziłem do \(\displaystyle{ (x-1)^{2} + (y-1)^{2} = 16}\)
Czyli \(\displaystyle{ S(1,2) a r = 4}\) no i teraz nie wiem co dalej ;/

[Joasia94]

Jest mały błąd w równaniu okręgu, ma ono mieć postać: \(\displaystyle{ (x-1) ^{2} + (y-2) ^{2} = 16}\)
Środek i promień są dobrze

Następnie obliczamy równanie prostej prostopadłej do prostej l i przechodzącej przez środek tego okręgu. Jeśli nazwiemy ją k, to: \(\displaystyle{ k: y = -x + 3}\)

Później punkt przecięcia się prostych l i k (niech będzie A) z układu równań tych dwóch prostych. Będzie to punkt będący środkiem odcinka, którego krańcami są środki tych dwóch okręgów. Wychodzi \(\displaystyle{ A = (3;0)}\)

Potem ze wzoru na środek odcinka wyznaczamy współrzędne środka drugiego okręgu (np. \(\displaystyle{ S _{II}}\)). Przypomnijmy, że A jest środkiem \(\displaystyle{ \left| SS _{II} \right|}\) Wyjdzie, że \(\displaystyle{ S _{II} = (5;-2)}\)

I układamy równanie drugiego okręgu (jak mówił rodzyn7773: promień nie zmieni się):
\(\displaystyle{ (x-5) ^{2} + (y+2) ^{2} = 16}\)