Odległość miedzy prostymi

[gielet]

Siema. mam problem z rozwiązaniem takiego zadania:

Kod: Zaznacz cały

Oblicz odległość między prostymi równoległymi k i l, jeśli:
a) k:2x+9=0   l:-3x+7=0
b) k:x-2y+4=0   l:-2x+4y-3=0
c) k:y=-3x+5   l:y=-3x-1

Za pomoc z góry wielkie dzięki;)

[mazur14]

Wykorzystaj wzór na odległość punktu od prostej tzn. obierz sobie jakikolwiek punkt który należy do jednej prostej i policz jego odległość od drugiej prostej.

[mat_61]

Wskazówka:

Możesz skorzystać wprost ze wzoru na odległość prostych równoległych podanych w postaci ogólnej:

\(\displaystyle{ k: Ax+By+C_{1} \\ \\ l: Ax+By+C_{2}}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{|C_{1}-C_{2}|}{ \sqrt{A^{2}+B^{2}} }}\)

[gielet]

dobra, ale ten wzór co podałeś idealnie pasuje do zadań gdzie podana jest 1 prosta oraz punk, a jak tu obliczyć np.

Kod: Zaznacz cały

a) k:2x+9=0   l:-3x+7=0

k: A=2,B=0,C=9 l: A=-3,B=0,C=7

Jak to podstawić do tamtego wzoru? które A(kwadrat) wstawic w liczniku?

[Lbubsazob]

Masz 1 prostą \(\displaystyle{ 2x+9=0}\), a drugą \(\displaystyle{ -3x+7=0}\). Wybierasz dowolny punkt należący do 2 prostej, np. \(\displaystyle{ P= \left( 1, 4\right)}\) i wstawiasz do wzoru.

[gielet]

Ale do którego wzoru?
Do tego? \(\displaystyle{ d= \frac{|C_{1}-C_{2}|}{ \sqrt{A^{2}+B^{2}} }}\)
Niech ktoś najlepiej zrobi cały przykład a) bo tak nie ma sensu, wtedy zobacze co gdzie i jak, a potem zrobię sobie potem 2 kolejne.

[mat_61]

Ten wzór który Ci napisałem dotyczy dwóch prostych, a nie punktu i prostej (co nie znaczy, że zadania nie można zrobić także w ten drugi sposób)

Wskazówka:

Możesz skorzystać wprost ze wzoru na odległość prostych równoległych podanych w postaci ogólnej:

\(\displaystyle{ k: Ax+By+C_{1} \\ \\ l: Ax+By+C_{2}}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{|C_{1}-C_{2}|}{ \sqrt{A^{2}+B^{2}} }}\)

Skoro proste są równoległe to ich równania można przecież zapisać tak (i trzeba to zrobić, żeby skorzystać z tego wzoru), że wartości A i B są takie same dla obydwu prostych - bo inaczej nie byłyby one równoległe. Np.

\(\displaystyle{ k: 2x+9=0 \\ \\
l: -3x+7=0}\)

możesz zapisać jako:

\(\displaystyle{ k: 6x+27=0 \\ \\
l: 6x-14=0}\)

Pierwsze równanie pomnożyłem przez 3 a drugie przez (-2)

Podobnie:

\(\displaystyle{ k: x-2y+4=0 \\ \\
l: -2x+4y-3=0}\)

możesz zapisać jako:

\(\displaystyle{ k: -2x+4y-8=0 \\ \\
l: -2x+4y-3=0}\)

Tutaj pierwsze równanie jest pomnożone przez (-2). I teraz podstawiasz odpowiednie dane do wzoru: A=(-2) B=4 itd.

Myślę, że teraz jest to jasne?

Natomiast przy rozwiązaniu tym drugim sposobem korzystasz ze wzoru na odległość punktu od prostej: wybierasz sobie jedną z prostych np. prostą k i dowolny punkt na drugiej prostej (czyli prostej l). Oczywiście musisz mieć pewność, że te proste są równoległe.

[gielet]

Jeśli mógł byś sprawdzić czy dobrze zrobiłem:)
Ogólnie, jeszcze raz wielkie dzięki.
a)

k: 2x+9=0 /*3
l: -3x+7=0 /*(-2)

k: 6x+27=0 | A=6, B=0, \(\displaystyle{ C _{1}}\)=27
l: 6x-14=0 | A=6, B=0, \(\displaystyle{ C _{2}}\)=14

\(\displaystyle{ d= \frac{ |C_{1} - C_{2}| }{ \sqrt{ A^{2} + B^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ |27-14| }{ \sqrt{ 6^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ 27+14 }{ \sqrt{ 36 } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ 41 }{6 }}\)

\(\displaystyle{ d= 6\frac{ 5 }{6 }}\)


b)

k: x-2y+4=0
l: -2x+4y-3=0

k: x-2y+4=0 /*(-2)
l: -2x+4y-3=0

k: -2x+4y-8=0 | A=(-2), B=4, \(\displaystyle{ C _{1}}\)=-8
l: -2x+4y-3=0 | A=(-2), B=4, \(\displaystyle{ C _{2}}\)=-3

\(\displaystyle{ d= \frac{ |C_{1} - C_{2}| }{ \sqrt{ A^{2} + B^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ |-8 - (-3)| }{ \sqrt{ (-2)^{2} + 4^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ |-8+3| }{ \sqrt{ 4 + 16 } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ |-5| }{ \sqrt{ 20 } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ 5 }{ \sqrt{ 20 } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ 5 }{ \sqrt{ 20 } } * \frac{ \sqrt{20} }{ \sqrt{ 20 } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ 5 \sqrt{20} }{ 20 }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ \sqrt{20} }{ 4 }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{2 \sqrt{5} }{ 4 }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ \sqrt{5} }{ 2 }}\)


c)

k: y=-3x+5
l: y=-3x-1

k: +3x+y -5=0 | A=3, B=1, \(\displaystyle{ C _{1}}\)=-5
k: +3x+y +1=0 | A=3, B=1, \(\displaystyle{ C _{1}}\)=1

\(\displaystyle{ d= \frac{ |C_{1} - C_{2}| }{ \sqrt{ A^{2} + B^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ |-5 - 1| }{ \sqrt{ (3)^{2} + 1^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ |-5 - 1| }{ \sqrt{ 9 + 1 } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ |-6| }{ \sqrt{ 10 } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ 6 }{ \sqrt{ 10 } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ 6 }{ \sqrt{ 10 } } * \frac{ \sqrt{10} }{ \sqrt{ 10 } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ 6 \sqrt{10} }{ 10 }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ 3 \sqrt{10} }{ 5 }}\)

[mat_61]

Z tego co widzę to jest ogólnie OK (jeżeli czegoś nie przegapiłem).

Masz natomiast kilka błędów "pisarsksich" np. tutaj:

k: 2x+9=0 /*3
l: -3x+7=0 /*(-2)

k: 6x+27=0 | A=6, B=0, C1=27
l: 6x-14=0 | A=6, B=0, C2=27

Czy tutaj:

k: y=-3x+5
l: y=-3x-1

k: +3x+4 -5=0 | A=3, B=4, C1=-5
k: +3x+4-1 =0 | A=3, B=4, C2=1

Ale ponieważ dalsze rachunki są dobre to zakładam, że te błędy powstały przy przepisywaniu.

A tak na marginesie jeżeli masz podane równania prostych równoległych w postaci kierunkowej (jak w przykładzie c)to odległość między nimi możesz obliczyć ze wzoru:

\(\displaystyle{ k: \ y=ax+b_{1} \\ \\ l: \ y=ax+b_{2} \\ \\ d= \frac{|b_{1}-b_{2}|}{ \sqrt{1+a^{2}} }}\)

[gielet]

Poprawiłem, a patrz, czemu tu:

\(\displaystyle{ d= \frac{ |27-14| }{ \sqrt{ 6^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{ 27+14 }{ \sqrt{ 36 } }}\)

wykonać trzeba było pierw zdjęcie tych kreseczek(wartość bezwzględnej) ale, zrobiłem tak bo jak pierw odjąłem i potem kreseczki to nie zgadzało się z odpowiedziami w książce, a jak bd miał jako 1 w klasie to bd kazała mi tłumaczyć co,gdzie i dlaczego więc wolał bym wiedzieć ;p

[mat_61]

Tam powinno być przecież (-14) a nie 14, czyli będzie, po poprawieniu tak:

\(\displaystyle{ d= \frac{ |27-(-14)| }{ \sqrt{ 6^{2} } }
=...}\)