układ sferyczny

franek89 · Post autor: **franek89** » 24 kwie 2010, o 15:15

Jak zamienić współrzędne sferyczne na kartezjańskie?
czy:
\(\displaystyle{ sin \varphi= \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}\)
\(\displaystyle{ cos \varphi= \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)
a co z \(\displaystyle{ sin \theta}\) oraz\(\displaystyle{ cos \theta}\) ?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 24 kwie 2010, o 15:26

Sferyczne na kartezjańskie to standardowa formułka:
\(\displaystyle{ x=r\cos\theta\cos\phi\\
y=r\cos\theta\sin\phi\\
z=r\sin\theta}\)
Tak właśnie kartezjańskie wyrażasz za pomocą sferycznych.

To, co wypisałeś, to wzorki pozwalające dość do zależności punktu w sferycznych gdy dany jest punkt w kartezjańskich.

franek89 · Post autor: **franek89** » 24 kwie 2010, o 18:17

A wiesz jak te wzorki dokończyć ?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 24 kwie 2010, o 18:50

Wiem

Po pierwsze, promień zależy od wszystkich współrzędnych.
Dokładniej
\(\displaystyle{ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)

Kąt \(\displaystyle{ \phi}\) liczymy z tego, co napisałeś w pierwszym poście (ten kąt leży w płaszczyźnie OXY więc zależy tylko od x i y)
\(\displaystyle{ \tg\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}=\frac{y}{x}\\
\phi=arctg\frac{y}{x}}\)

Pozostaje jeszcze kąt \(\displaystyle{ \theta}\) - kąt między promieniem wodzącym a płaszczyzną OXY.
Skoro \(\displaystyle{ z=r\sin\theta}\) to \(\displaystyle{ \theta=\arcsin\frac{z}{r}}\)

franek89 · Post autor: **franek89** » 24 kwie 2010, o 19:48

A jak wyrazić we współrzędnych kartezjańskich wektory jednostkowe układu współrzędnych sferycznych?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 24 kwie 2010, o 20:19

Podstawić do wzorów, które wypisałem, wektory jednostkowe?

franek89 · Post autor: **franek89** » 24 kwie 2010, o 21:41

yorgin · Post autor: **yorgin** » 24 kwie 2010, o 23:04

Podstawić pod współrzędne kartezjańskie wyrażone sferycznymi wektory
\(\displaystyle{ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}\) (jeśli to masz na myśli pisząc o jednostkowych)
Jeśli to ma być wektor długości 1 w sferycznych, ciężko coś sensownego wypisać. W ogóle dziwnie te wzory będą wyglądać nawet dla tych, które podałem.

franek89 · Post autor: **franek89** » 25 kwie 2010, o 11:58

A nie wystarczy policzyć pochodnych cząstkowych?
\(\displaystyle{ (cos \theta cos \varphi, cos \theta sin \varphi, sin \theta)}\)
\(\displaystyle{ (-rcos \theta sin \varphi, rcos \theta cos \varphi, 0)}\)
\(\displaystyle{ (-rsin \theta cos \varphi, -rsin \theta sin \varphi, r cos \theta)}\)
?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 25 kwie 2010, o 12:16

Pochodne cząstkowe dają wektor styczny.

franek89 · Post autor: **franek89** » 25 kwie 2010, o 13:55

A jak byś zapisał pierwszy wektor jednostkowy?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 25 kwie 2010, o 14:44

Wektorowi \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) w sferycznych odpowiada \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) w kartezjańskich.