Co z taką izometrią?

[Z_i_o_M_e_K]

Sprawdzić czy podane przekształcenie jest izometrią:
\(\displaystyle{ f:R \rightarrow R^{3}}\)
\(\displaystyle{ \vee _{p \in R}f(p)=( \frac{2p}{ \sqrt{5} },1, \frac{p}{ \sqrt{5} } +7)}\)
Weźmy dowolne \(\displaystyle{ p_1,p_2 \in R}\) mamy:
\(\displaystyle{ P(f(p_1),f(p_2))=|( \frac{2 p_2}{ \sqrt{5} },1, \frac{p_2}{ \sqrt{5}}+7)-( \frac{2p_1}{ \sqrt{5} },1, \frac{p_1}{ \sqrt{5} } +7)|=|( \frac{2}{ \sqrt{5} } ,0, \frac{1}{ \sqrt{5} }) \cdot (p_2-p_1,p_2-p_1,p_2-p_1)|= \sqrt{1} \cdot |(p_2-p_1,p_2-p_1,p_2-p_1)|=P((p_1,p_1,p_1),(p_2,p_2,p_2))}\)
ale czy to jest izometrią??? to nie wiem:)

[yorgin]

Jest to izometria. Notacja, którą stosujesz, jest wielce niezrozumiała.
Skrócone obliczenia:
\(\displaystyle{ (d(f(p_1),f(p_2)))^2=\left(\frac{2}{\sqrt{5}}(p_2-p_1)}\right)^2+(1-1)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{5}}(p_2-p_1)\right)^2=(p_2-p_1)^2=(d(p_2,p_1))^2}\)