symetria wykresu f. wykładniczej

[peter19913]

Witam, mam taki problem, mianowicie
jak przekształcić wykres funkcji wykładniczej \(\displaystyle{ f(x)= (\frac{1}{3}) ^{x}}\) przez symetrię środkową względem punktu (1,-1)
Chodzi mi generalnie o wysunięcie metody na wyliczenie wzoru tej funkcji
Z góry dziękuję

[xanowron]

Zauważ, że symetria środkowa względem punktu \(\displaystyle{ O(a,b)}\) przekształca punkt \(\displaystyle{ P(x,y)}\) na punkt \(\displaystyle{ P'(2a-x,2b-y)}\).
Czyli mamy przekształcenie \(\displaystyle{ P((x,y)) \rightarrow (2a-x,2b-y)}\), a w naszym przypadku \(\displaystyle{ P((x,y)) \rightarrow (2-x,-2-y)}\)
Łatwo pokazać, że to przekształcenie jest izometrią i potem mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \prime =2-x \\ y \prime =-2-y \end{cases}}\)
Szukamy \(\displaystyle{ x}\), zatem \(\displaystyle{ \begin{cases} x=2-x \prime \\ y=-2-y \prime \end{cases}}\)
Czyli wzór szukanej funkcji to \(\displaystyle{ -2-y \prime =(\frac{1}{3}) ^{2-x \prime }}\).

Możesz też spróbować przesunąć wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)= (\frac{1}{3}) ^{x}}\) o wektor \(\displaystyle{ \vec{u} =[-1,1]}\) i teraz szukamy funkcji w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych czyli korzystamy z nieparzystości funkcji (\(\displaystyle{ -f(-x)}\)) i potem przesuwamy z powrotem na miejsce. Chyba zadziała, nie sprawdzałem