jednokładność funkcji

[Pawelek91]

Wykres funkcji \(\displaystyle{ y = a*b ^{x}}\) powstaje z wykresu funkcji \(\displaystyle{ y = 1- 4 ^{x}}\) przez jednokładność o środku w punkcie \(\displaystyle{ (1,0)}\) i skali \(\displaystyle{ 2}\) . Wyznacz liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) .

[Crizz]

Niech \(\displaystyle{ S=(1,0),k=2}\). Dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ A(x,y)}\) i jego obrazu \(\displaystyle{ A'(x',y')}\) w tym przekształceniu zachodzi:
\(\displaystyle{ \vec{SA'}=k\vec{SA}}\)
\(\displaystyle{ [x'-1,y']=2[x-1,y]}\)

\(\displaystyle{ x'-1=2(x-1) \\ x'-1=2x-2 \\ 2x=x'+1 \\ x=\frac{x'+1}{2}}\)

\(\displaystyle{ y'=2y \\ y=\frac{y'}{2}}\)

Obrazem krzywej \(\displaystyle{ y=1-4^{x}}\) w tym przekształceniu jest zatem krzywa \(\displaystyle{ \frac{y}{2}=1-4^{\frac{x+1}{2}}}\).

Jak dalej poprzekształcasz ten wzór, to zobaczysz, że nie da się przedstawić równania tej krzywej do postaci podanej w zadaniu.