Powierzchnie regularne, odwzorowania.

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
ulka1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 13 maja 2009, o 14:05
Płeć: Kobieta
Pomógł: 1 raz

Powierzchnie regularne, odwzorowania.

Post autor: ulka1987 »

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań.

1. Niech \(\displaystyle{ S ^{2} = \{(x,y,z) \in R ^{3} ; x ^{2}+y ^{2} +z ^{2}=1\}}\) będzie sferą i niech \(\displaystyle{ A:S ^{2} \rightarrow S ^{2}}\) będzie odwzorowaniem \(\displaystyle{ A(x,y,z) = (-x, -y, -z).}\)Udowodnij, że A jest dyfeomorfizmem.

2. Skonstruuj dyfeomorfizm pomiędzy elipsą \(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{a ^{2} } + \frac{y ^{2} }{b ^{2} } +\frac{z ^{2} }{c ^{2} } } = 1}\) i sferą \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2} + z ^{2} = 1.}\)

3. Pokaż, że parabola \(\displaystyle{ z = x ^{2}+y ^{2}}\)jest dyfeomorficzna na płaszczyźnie.

Będę bardzo wdzięczna za wszelkie wskazówki:)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Powierzchnie regularne, odwzorowania.

Post autor: yorgin »

Hmmm jaka jest definicja dyfeomorfizmu? Wprost z definicji wynika 1. ...

Zadanie 2.
\(\displaystyle{ (x,y,z)\mapsto(ax,by,cz)}\)

Zadanie 3.
Paraboloida dyfeomorficzna z płaszczyzną?
ulka1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 13 maja 2009, o 14:05
Płeć: Kobieta
Pomógł: 1 raz

Powierzchnie regularne, odwzorowania.

Post autor: ulka1987 »

Zadania były tłumaczone z języka angielskiego więc mógł wkraść się błąd za co bardzo przepraszam:(
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Powierzchnie regularne, odwzorowania.

Post autor: yorgin »

Do zadania trzeciego wystarczy wziąć dyfeo następujący:
\(\displaystyle{ (x,y,z)\mapsto (x,y,0)}\)
Nie ma żadnego problemu z warunkami na dyfeo.
ulka1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 13 maja 2009, o 14:05
Płeć: Kobieta
Pomógł: 1 raz

Powierzchnie regularne, odwzorowania.

Post autor: ulka1987 »

dziękuję za wskazówki:)
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

Powierzchnie regularne, odwzorowania.

Post autor: yorgin »

W tym nie ma nic skomplikowanego. Kluczem jest zrozumienie definicji i dobra wyobraźnia (mnie tej ostatniej nie brakuje )
ODPOWIEDZ