Witam.
Dowieść, że przy obrocie układu \(\displaystyle{ XOY}\) dookoła punktu \(\displaystyle{ O}\) o kąt \(\displaystyle{ \phi}\) iloczyn skalarny każdej pary wektorów nie ulega zmianie.
Iloczyn skalarny, to iloczyn długości wektorów oraz cosinusa kąta miedzy nimi, a ponieważ obracają układ wsp. nie ruszamy w ogóle wektorów, to ich długości pozostają takie same, zatem pozostaje dowieść, że cosinus kąta między nimi też nie ulega zmianie (w zasadzie wydaje mi się to oczywiste, bo nie tyle cosinus, co przecież kąt pomiędzy dowolnymi dwoma wektorami będzie taki sam, tyle, że będzie w nowym układzie leżał w innym miejscu, ale wtedy byłoby po zadaniu bez żadnego wysiłku, więc trzeba to chyba formalnie pokazać...).
Nie wiem czy słusznie, ale postanowiłem zbadać jaki będzie wzór danego punktu w nowym układzie wsp. i rzutując dowolny punkt na cztery osie (x,y, x', y') oraz używając funkcji trygonometrycznych doszedłem do tego, że mając \(\displaystyle{ A=(a,b)}\) w XOY, to w X'OY' ten punkt będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ A=(|a-b ctg \phi| cos \phi , \ |a-b ctg \phi | sin \phi)}\)
Teraz w zasadzie nie pozostawałoby nic innego, niż zapisać sobie pewne wektory (przy czym jestem zmuszony podawać ich współrzędne jako różnice współrzędnych jego wierzchołków, w przeciwnym wypadku nie mógłbym skorzystać z wyprowadzonego wzoru na "nowe" współrzędne), np. \(\displaystyle{ \vec{AB}=[c-a, d-b] , \ \vec{KL}=[m-k, n-l]}\) i podmieniając wszystkie współrzędne na "nowe" stworzyć wektory \(\displaystyle{ \vec{A'B'} \ i \ \vec{K'L'}}\), następnie zważając na stałą długość wektorów, pokazać, że wartości wyrażeń (przy standardowych oznaczeniach) \(\displaystyle{ a_1b_1+a_2b_2}\) są równe dla obu par, lecz jest to brutalne przemnażanie i nie bardzo też cokolwiek w tym widać, więc albo nie widzę jakiegoś przekształcenia, albo trzeba to zrobić inaczej.