Dwusieczna w ukł. wsp., dł. wektora

[patry93]

Witam.

Punkty \(\displaystyle{ A=(2,0), \ B=(1,3), \ C=(-5, 1)}\) są wierzchołkami trójkąta. Punkt \(\displaystyle{ D}\) należy do boku \(\displaystyle{ BC}\), a odcinek \(\displaystyle{ AD}\) zawiera się w dwusiecznej kąta \(\displaystyle{ CAB}\). Wyznaczyć długość wektora \(\displaystyle{ \vec{AD}}\)

Co robiłem: przede wszystkim zapisałem sobie odpowiednie wektory (współrzędne punktu D oznaczam przez \(\displaystyle{ (a,b)}\)), tj. \(\displaystyle{ \vec{AC}=[-7,1] , \ \vec{AB}=[-1,3] , \ \vec{AD}=[a-2, b]}\)
Plan miałem taki, aby skorzystać ze wzorów na sinus i cosinus kąta pomiędzy wektorami, przy czym jeden wzór mogę zapisać do dwóch kątów, gdyż mają takie same miary, ale innych wektorów i porównać, co trzeba. Do tego przyda się jeszcze: \(\displaystyle{ | \vec{AC} | = 5 \sqrt{2} , \ |\vec{AB} | = \sqrt{10}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ sin \sphericalangle (\vec{AC} , \ \vec{AD} ) = sin \sphericalangle (\vec{AD} , \ \vec{AB} ) \Leftrightarrow \frac{-7b-a+2}{5 \sqrt{2} | \vec{AD} |} = \frac{-b-3(a-2)}{ \sqrt{10}| \vec{AD} |} \Leftrightarrow \\ a(- \sqrt{10}+15 \sqrt{2} ) +b(-7 \sqrt{10}+5 \sqrt{2})=30 \sqrt{2}-2 \sqrt{10} \\ cos \sphericalangle (\vec{AC} , \ \vec{AD} ) = cos \sphericalangle (\vec{AD} , \ \vec{AB} ) \Leftrightarrow \frac{-7(a-2)+b}{5 \sqrt{2} | \vec{AD} |} = \frac{2-a+3b}{ \sqrt{10} | \vec{AD} |} \Leftrightarrow \\ a(-7 \sqrt{10}+5 \sqrt{2})+b( \sqrt{10} - 15 \sqrt{2} ) = 10 \sqrt{2} - 14 \sqrt{10}}\)

Po rozwiązaniu układu tych dwóch równań dostaję \(\displaystyle{ a=2, b=0}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ \vec{AD}}\) jest wektorem zerowym - zatem na pewno coś mam źle...

[anna_]

To trójkąt prostokątny. Kąt prosty jest przy wierzchołku B.
Ja bym korzystała z

Kod: Zaznacz cały

http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_o_dwusiecznej_kąta_wewnętrznego_w_trójkącie

[patry93]

Hm, lecz nawet po zapisaniu tw. o dwusiecznej wychodzi jedno, w dodatku okropne równanie z 2 niewiadomymi - nie wiem, jak można by to ruszyć dalej.

A co do tego, co napisałem w 1. poście - dlaczego wychodzi źle? Nie mogę znaleźć błędu.

[anna_]

\(\displaystyle{ \frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}}\)
\(\displaystyle{ |BD|= \sqrt{(1-a)^2+(3-b)^2}}\)
\(\displaystyle{ |DC|= \sqrt{(-5-a)^2+(1-b)^2}}\)
\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ |AC|=5 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{(1-a)^2+(3-b)^2} }{ \sqrt{(-5-a)^2+(1-b)^2}} = \frac{\sqrt{10}}{5 \sqrt{2}}}\)
\(\displaystyle{ a^2 - 5a + b^2 - 7b + 6=0}\)


\(\displaystyle{ |AB|^2+|BD|^2=|AD|^2}\)
\(\displaystyle{ |AD|= \sqrt{(a-2)^2+b^2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{10} ^2+(\sqrt{(1-a)^2+(3-b)^2})^2=(\sqrt{(a-2)^2+b^2})^2}\)
\(\displaystyle{ 2a - 6b +16=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2 - 5a + b^2 - 7b + 6=0 \\ 2a - 6b +16=0 \end{cases}}\)