rzut punktu na płaszczyznę
-
tretenmerth
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 18 paź 2009, o 17:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
rzut punktu na płaszczyznę
Niech \(\displaystyle{ A'(x_{0},y_{0},z_{0})}\) będzie szukanym punktem i niech \(\displaystyle{ A=(4,-3,1)}\), wówczas wektor \(\displaystyle{ \vec{AA'}= [x_{0}-4,y_{0}+3,z_{0}-1]}\) jest prostopadły do rozważanej płaszczyzny, czyli równoległy do wektora \(\displaystyle{ [1,2,-1]}\). Istnieje zatem takie rzeczywiste t, że:
\(\displaystyle{ [x_{0}-4,y_{0}+3,z_{0}-1]=t[1,2,-1]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{0}-4=t \\ y_{0}+3=2t \\ z_{0}-1=-t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{0}=t+4 \\ y_{0}=2t-3 \\ z_{0}=-t+1 \end{cases}}\)
Punkt \(\displaystyle{ A'}\) ma należeć do płaszczyzny, zatem jego współrzędne spełniają jej równanie:
\(\displaystyle{ x_{0}+2y_{0}-z_{0}-3=0}\)
\(\displaystyle{ (t+4)+2(2t-3)-(-t+1)-3=0}\)
\(\displaystyle{ t=1}\)
\(\displaystyle{ A'=(5,-1,0)}\)
\(\displaystyle{ [x_{0}-4,y_{0}+3,z_{0}-1]=t[1,2,-1]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{0}-4=t \\ y_{0}+3=2t \\ z_{0}-1=-t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{0}=t+4 \\ y_{0}=2t-3 \\ z_{0}=-t+1 \end{cases}}\)
Punkt \(\displaystyle{ A'}\) ma należeć do płaszczyzny, zatem jego współrzędne spełniają jej równanie:
\(\displaystyle{ x_{0}+2y_{0}-z_{0}-3=0}\)
\(\displaystyle{ (t+4)+2(2t-3)-(-t+1)-3=0}\)
\(\displaystyle{ t=1}\)
\(\displaystyle{ A'=(5,-1,0)}\)