Mam problem z dwoma zadaniami.
1. Równanie ogólne płaszczyzny \(\displaystyle{ x+2y+3z+1=0}\) zamienić na równanie parametryczne.
2.Wyznaczyć część wspólną trzech płaszczyzn :
\(\displaystyle{ x+2y+z+1=0
-x+2y+2z-1=0
-x+6y+5z-1=0}\)
Jak rozwiązać te zadania ??
Równanie ogólne płaszczyzny i część wspolna 3 płaszczyzn.
- mateoskamikadze
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 10 lut 2010, o 22:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 18 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie ogólne płaszczyzny i część wspolna 3 płaszczyzn.
Dodaj dwa pierwsze równania stronami, dostaniesz:
\(\displaystyle{ 4y+3z=0}\)
Odejmij drugie rónanie stronami od pierwszego, dostaniesz:
\(\displaystyle{ 2x-z+2=0}\)
Z drugiego z tych równań masz \(\displaystyle{ z=2x+2}\)
Z pierwszego \(\displaystyle{ z=-\frac{4}{3}y}\)
Stąd \(\displaystyle{ z=\frac{y}{-\frac{3}{4}}=\frac{x+1}{\frac{1}{2}}}\) jest równaniem wspólnej prostej tych dwóch płaszczyzn.
Parametrycznie można zapisać równanie tej prostej jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{1}{2}t-1 \\ y=-\frac{3}{4}t \\z=t \end{cases}}\)
Wystarczy teraz, ze rozwiążesz równanie \(\displaystyle{ -\left(\frac{1}{2}t-1\right)+6\left(-\frac{3}{4}t\right)+5t-1=0}\), a otrzymane t wyznaczy punkt na znalezionej prostej, będący punktem wspólnym tych trzech płaszczyzn.
(sprawdź dokładnie obliczenia)
\(\displaystyle{ 4y+3z=0}\)
Odejmij drugie rónanie stronami od pierwszego, dostaniesz:
\(\displaystyle{ 2x-z+2=0}\)
Z drugiego z tych równań masz \(\displaystyle{ z=2x+2}\)
Z pierwszego \(\displaystyle{ z=-\frac{4}{3}y}\)
Stąd \(\displaystyle{ z=\frac{y}{-\frac{3}{4}}=\frac{x+1}{\frac{1}{2}}}\) jest równaniem wspólnej prostej tych dwóch płaszczyzn.
Parametrycznie można zapisać równanie tej prostej jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{1}{2}t-1 \\ y=-\frac{3}{4}t \\z=t \end{cases}}\)
Wystarczy teraz, ze rozwiążesz równanie \(\displaystyle{ -\left(\frac{1}{2}t-1\right)+6\left(-\frac{3}{4}t\right)+5t-1=0}\), a otrzymane t wyznaczy punkt na znalezionej prostej, będący punktem wspólnym tych trzech płaszczyzn.
(sprawdź dokładnie obliczenia)
- mateoskamikadze
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 10 lut 2010, o 22:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 18 razy
Równanie ogólne płaszczyzny i część wspolna 3 płaszczyzn.
ok dzięki wielkie podziwiam a jak zrobić to pierwsze zadanie ??
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie ogólne płaszczyzny i część wspolna 3 płaszczyzn.
Najpierw trzeba znaleźć trzy niewspólliniowe punkty tej płaszczyzny, np.:
\(\displaystyle{ A=(-1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ B=(0,1,-1)}\)
\(\displaystyle{ C=\left(2,4,-\frac{11}{3}\right)}\)
Znajdujemy potem na podstawie tych punktów dowolne dwa wektory równoległe do tej płaszczyzny, ale nierównoległe do siebie nawzajem, np.:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[1,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=\left[2,3,-\frac{8}{3}\right]}\)
Mając dwa takie wektory \(\displaystyle{ [a,b,c],[d,e,f]}\) oraz punkt \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) należący do płaszczyzny, możemy jej równanie zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_{0}+ta+sd \\ y=y_{0}+tb+se \\ z=z_{0}+tc+sf \end{cases}}\)
gdzie oczywiście \(\displaystyle{ s,t\in\Re}\) są parametrami. W tym wypadku to będzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1+t+2s \\ y=t+3s \\ z=-t-\frac{8}{3}s \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A=(-1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ B=(0,1,-1)}\)
\(\displaystyle{ C=\left(2,4,-\frac{11}{3}\right)}\)
Znajdujemy potem na podstawie tych punktów dowolne dwa wektory równoległe do tej płaszczyzny, ale nierównoległe do siebie nawzajem, np.:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[1,1,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=\left[2,3,-\frac{8}{3}\right]}\)
Mając dwa takie wektory \(\displaystyle{ [a,b,c],[d,e,f]}\) oraz punkt \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) należący do płaszczyzny, możemy jej równanie zapisać w postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=x_{0}+ta+sd \\ y=y_{0}+tb+se \\ z=z_{0}+tc+sf \end{cases}}\)
gdzie oczywiście \(\displaystyle{ s,t\in\Re}\) są parametrami. W tym wypadku to będzie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-1+t+2s \\ y=t+3s \\ z=-t-\frac{8}{3}s \end{cases}}\)