Równanie prostej i okręgu 3
Równanie prostej i okręgu 3
Dane są punkty B(-3,-3), B(7,2). Pierwsze miałam wyliczyć równanie okręgu (w postaci zredukowanej), którego średnicą jest odcinek AB. Wyszło mi x\(\displaystyle{ ^{2}}\)+y\(\displaystyle{ ^{2}}\)-4x+y-27=0 i to rozwiązanie jest ok. Teraz z tego na prostej k:x+y-6=0 wyznacz punkt C, dla którego kąt ACB ma miarę 90stopni. I dla wyznaczonej punktu C oblicz pole trójkąta ABC. Możecie pomóc?
-
Fatina
- Użytkownik
- Posty: 85
- Rejestracja: 7 kwie 2010, o 14:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: podkarpackie
- Podziękował: 3 razy
Równanie prostej i okręgu 3
Rozumiem, że punkt C leży na okręgu, zatem jeśli punkt leży na okręgu i na prostej, to wystarczy rozwiązać układ równań, żeby wyznaczyć współrzędne punktu C:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}-4x+y-27=0 \\ x+y-6=0 \end{cases}}\)
z drugiego równania otrzymamy np. \(\displaystyle{ x=-y+6}\) i to wstawiamy za x do pierwszego równania. Otrzymamy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ (-y+6)^{2}+y^{2}-4(-y-6)+y-27=0}\)
Ostatecznie wychodzi nam, że \(\displaystyle{ y1= -\frac{3}{2}}\) lub \(\displaystyle{ y2= 5}\)
podstawiając te wyniki to drugiego równania x=-y+6 otrzymamy \(\displaystyle{ x1=7 \frac{1}{2}}\) lub\(\displaystyle{ x2=1}\)
zatem punkt C będzie miał współrzędne:
\(\displaystyle{ C=( 7\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})}\)
lub \(\displaystyle{ C'=(1, 5)}\)
Prosta AC i prosta BC są do siebie prostopadłe, również AC' i BC' są do siebie prostopadłe. Można to sprawdzić wyznaczając równania tych prostych i porównać czy iloczyn współczynników przy x jest równy -1 (warunek prostopadłości).
jeżeli AC: y=ax+b to
BC musi wyjść y= -1/a +b
Wyznaczanie równania prostych przechodzących przez 2 punkty sprowadza się do rozwiązania układu równań, gdzie za x i y podstawiamy współrzędne punktów, np. prosta AC: y=ax+b
A=(-3,-3), B=(7,2) więc układ równań będzie wyglądał tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3=-3a+b \\ 2=7a+b \end{cases}}\)
otrzymamy równanie prostej \(\displaystyle{ AC: y= \frac{1}{7}x- \frac{4}{7}}\)
i w podobny sposób równanie prostej BC itd.
Obliczenie pola trójkąta ABC i ABC':
Pole ABC= 1/2 *|AC|*|BC|
długości odcinków |AC| i |BC| oraz |AC'| i |BC'| trzeba wyliczyć ze wzoru na odległość:
A=(x1, y1) B=(x2,y2)
\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}+y^{2}-4x+y-27=0 \\ x+y-6=0 \end{cases}}\)
z drugiego równania otrzymamy np. \(\displaystyle{ x=-y+6}\) i to wstawiamy za x do pierwszego równania. Otrzymamy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ (-y+6)^{2}+y^{2}-4(-y-6)+y-27=0}\)
Ostatecznie wychodzi nam, że \(\displaystyle{ y1= -\frac{3}{2}}\) lub \(\displaystyle{ y2= 5}\)
podstawiając te wyniki to drugiego równania x=-y+6 otrzymamy \(\displaystyle{ x1=7 \frac{1}{2}}\) lub\(\displaystyle{ x2=1}\)
zatem punkt C będzie miał współrzędne:
\(\displaystyle{ C=( 7\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})}\)
lub \(\displaystyle{ C'=(1, 5)}\)
Prosta AC i prosta BC są do siebie prostopadłe, również AC' i BC' są do siebie prostopadłe. Można to sprawdzić wyznaczając równania tych prostych i porównać czy iloczyn współczynników przy x jest równy -1 (warunek prostopadłości).
jeżeli AC: y=ax+b to
BC musi wyjść y= -1/a +b
Wyznaczanie równania prostych przechodzących przez 2 punkty sprowadza się do rozwiązania układu równań, gdzie za x i y podstawiamy współrzędne punktów, np. prosta AC: y=ax+b
A=(-3,-3), B=(7,2) więc układ równań będzie wyglądał tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3=-3a+b \\ 2=7a+b \end{cases}}\)
otrzymamy równanie prostej \(\displaystyle{ AC: y= \frac{1}{7}x- \frac{4}{7}}\)
i w podobny sposób równanie prostej BC itd.
Obliczenie pola trójkąta ABC i ABC':
Pole ABC= 1/2 *|AC|*|BC|
długości odcinków |AC| i |BC| oraz |AC'| i |BC'| trzeba wyliczyć ze wzoru na odległość:
A=(x1, y1) B=(x2,y2)
\(\displaystyle{ |AB|= \sqrt{(x2-x1)^{2}+(y2-y1)^{2}}}\)