Prosta przecinajaca dwie proste

[zaudi]

W przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\) Znaleść równanie prostej prezchodzącej prze punkt \(\displaystyle{ A(2,3,1)}\) i przecinające proste:
\(\displaystyle{ l1}\)\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}+x _{2}=0 \\ x _{1}-x _{2}+x _{3}+4=0\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ l2}\)\(\displaystyle{ \begin{cases} x _{1}+3x _{2}-1=0 \\ x _{2}+x _{3}=0 \end{cases}}\)
No to najpierw sprowadzam do posataci parametrycznej
\(\displaystyle{ l1: \ x _{1}=t\ x _{2}=-t \ x _{3}=-4-2t}\) \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ l2: \ x _{1}=1-3s \ x _{2}=s \ x _{3}=-s}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Zatem punkt należący do prostej l1 ma współrzędne \(\displaystyle{ N(t,-t,-4-2t)}\) Zaś do prostej l2 \(\displaystyle{ \ M(1-3s,s,-s)}\) Parametry wyznaczam z tego, że wektory \(\displaystyle{ \vec{AM} \ i \ \vec{AN}}\) są liniowo zależne.
\(\displaystyle{ \vec{AM}=(-1-3s,s-3,-s-1) \ \vec{AN}=(t-2,-t-3,-5-2t)}\) \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{t-2}{-1-3s}= \frac{-t-3}{s-3}= \frac{-5-2t}{-s-1}}\)
Ostatnie rownanie z proporcji i np. \(\displaystyle{ t=1 \ i \ s= \frac{17}{11}}\), czyli \(\displaystyle{ N=(1,-1,-6)}\)
i z wzoru na równanie prostej przechodzącej prze dwa punkty otrzymuje: \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-2}{-1}= \frac{y-3}{-4}= \frac{z-1}{-7}}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Czy moje rozumowanie jest poprawne???

[lukasz1804]

Parametry wyznaczam z tego, że wektory \(\displaystyle{ \vec{AM} \ i \ \vec{AN}}\) są liniowo zależne.
\(\displaystyle{ \vec{AM}=(-1-3s,s-3,-s-1) \ \vec{AN}=(t-2,-t-3,-5-2t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{t-2}{-1-3s}= \frac{-t-3}{s-3}= \frac{-5-2t}{-s-1}}\)

Aby wektory \(\displaystyle{ \vec{AM}, \vec{AN}}\) były liniowo zależne, musi być spełniona powyższa podwójna proporcja. Wniosek ten prowadzi do układu równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ s, t}\). Nie można się zaś posiłkować tylko jedną z proporcji.

Ostatnie rownanie z proporcji i np. \(\displaystyle{ t=1 \ i \ s= \frac{17}{11}}\), czyli \(\displaystyle{ N=(1,-1,-6)}\)
i z wzoru na równanie prostej przechodzącej prze dwa punkty otrzymuje: \(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-2}{-1}= \frac{y-3}{-4}= \frac{z-1}{-7}}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Czy moje rozumowanie jest poprawne???

Sprawdź, czy wyznaczona przez Ciebie prosta przechodzi przez punkt M dla pewnego \(\displaystyle{ s}\), tj. czy prosta ta przecina prostą \(\displaystyle{ l_2}\).