Trójkąt równoboczny na paraboli

[stan1906]

Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC leżą na paraboli \(\displaystyle{ y=-x^2+6x}\) Punkt C jest wierzchołkiem paraboli a bok AB jest równoodległy od osi OX

oblicz wspólrzędne wierzchołków tego trójkąta

liczyłem coś ale nie wychodzi ;/

[Justka]

Może pójdzie w ten sposób, łatwo obliczyć, że \(\displaystyle{ C=(3,9)}\), niech \(\displaystyle{ A=(x,-x^2+6x)}\), oraz C' to środek boku AB tójkąta, wtedy \(\displaystyle{ C'=(3, -x^2+6x)}\), stąd mamy

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|AB|=|C'A|= x-3}\) oraz \(\displaystyle{ |AB|=|AC|=\sqrt{(x-3)^2+(-x^2+6x-3)^2}}\), wystarczy rozwiązać równanie

\(\displaystyle{ 2(x-3)=\sqrt{(x-3)^2+(-x^2+6x-3)^2}}\)

[stan1906]

dlaczego wartość C' jest taka jak C skoro C' nie leży na paraboli?

p.s ja mam q=9

ja to robiłem tak, że środek AB zapisalem jako D, dla niego x=3 bo leży na wysokości wierzchołka paraboli.
no i teraz A=3-x, B=3+x. oraz odpowiedno dla nich wartości funkcji

następnie chcialem skorzystać z tego, że są równe dlugości boków no ale wychodzi mi równanie tożsamościowe. jak to zrobić?

[Justka]

Faktycznie \(\displaystyle{ C=(3,9)}\), sorki.

\(\displaystyle{ C'=(3,-x^2+6x)}\), ponieważ "leży na tej samej wysokości" co punkty A i B.

Wymyśliłam inny sposób:

Wiemy już, że \(\displaystyle{ |AB|=2(x-3)}\) (AB>0), więc wysokość trójkąta ABC jest równa \(\displaystyle{ |CC'|= \frac{AB\sqrt{3}}{2}= 9-(-x^2+6x)}\), czyli \(\displaystyle{ (x-3)\sqrt{3}=x^2-6x+9=(x-3)^2}\), więc interesujące nas \(\displaystyle{ x=3+\sqrt{3}}\). Dodam jeszcze, że punkt B jest symetryczny do A względem prostej x=3.

[piasek101]

Albo (za bardzo nie wczytywałem się we wcześniejsze) zauważyć, że szukane leżą na prostych poprowadzonych przez dany punkt (wierzchołek) i pod znanym kątem do osi X (czyli znanym współczynnikiem kierunkowym).

[stan1906]

ten kąt to 60stopni? czyli tga = \(\displaystyle{ \sqrt{3} i - \sqrt{3}}\)

[piasek101]

Jednej tak ([edit] jak pisałem poprawiłeś wcześniejszy).
Teraz jej (tej prostej - bo ją można wyznaczyć) punkt wspólny z parabolą, a ostatni to już formalność.

[stan1906]

dzięki. wyszło