Równanie prostej i okręgu cz.2

[jeal]

1. Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ABCD: A(-5,4) B(3,2) C(9,1). Oblicz współrzędne wierzchołka D i pole równoległoboku. W tym zadaniu oczywiście równanie prostej AB wyznaczyłam: y=-\(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\)x+\(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\). Wiem, że AB jest równoległa do CD, ale nie wiem jak z tym dalej ruszyć, mam jakieś zaćmienie...
2. Punkty A(0,-5) oraz D(-3,-1) są kolejnymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, którego osią symetrii jest prosta k:x+2y=0. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C oraz pole tego trapezu. Tego kompletnie nie wiem jak zrobić.

[Liop91]

1. Proponuje zrobić z wektorów
\(\displaystyle{ \vec{AB}=\vec{CD}}\)
no a pole to też możesz z wektorów
No a jak się upierasz przy tej swojej metodze to skoro te proste są równoległe to mają ten sam współczynnik kierunkowy i potem wyznacz wzór prostej o tym współczynniku kierunkowy przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ C}\) . Następnie wyznacz punkt \(\displaystyle{ D}\) leżącej na wyznaczonej wcześniej prostej i odległej od punktu \(\displaystyle{ C}\) o długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\) ale z wektorów jest znacznie szybciej
2. Wyznacz punkt \(\displaystyle{ B}\) który jest symetrzny do punktu \(\displaystyle{ A}\) względem prostej \(\displaystyle{ k}\)
Potem podobnie wyznacz punkt \(\displaystyle{ C}\) symetryczny do punktu \(\displaystyle{ D}\) względem prostej \(\displaystyle{ k}\). No a dalej to chyba wiadomo.

[jeal]

1. Masz rację z tymi wektorami prościej, ale powinno być DC I wtedy wychodzi punkt D (1,7). Teraz tylko nie wiem jak obliczyć wysokość równoległoboku?? podstawa a=10. wysokość powinna wyjść 6... Przedłużyłam podstawę równoległoboku i powstały mi dwa trójkąty przylegające, prostokątne. Przeciwprostokątna wynosi 3 \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), jedna przyprostokątna to szukane h, a druga to 10-x, a to jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)h <-czy istnieje taka zależność w równoległoboku? bo wtedy by wychodziło...
2. Jak wyznaczyć te symetryczne punkty, skoro wzór tej prostej to y=-\(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\). Wyznaczyłam prostą przechodzącą przez A, żeby je do siebie przyrównać i wyszło mi -\(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)=-\(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)-5 i tym sposobem mi się skraca i nie mam jak wyznaczyć współrzędnych nazwijmy S(x,y)? Mógłbyś mi jeszcze to podpowiedzieć?

[Lbubsazob]

Zad. 1
Żeby wyznaczyć wysokość, możesz znaleźć równanie prostej AB, potem prostopadłej do AB przechodzącej przez punkt D. Potem znajdź punkt P przecięcia obu tych prostych, a długość odcinka DP to wysokość.-- 5 kwi 2010, o 22:00 --Zad. 2
Prosta, która jest osią symetrii, ma równanie \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{2}x}\), zatem prostopadła do niej ma wzór \(\displaystyle{ y=2x+b}\). Szukasz prostopadłej przechodzącej przez punkt D, potem współrzędne punktu przecięcia obu prostych - jest to środek odcinka CD. Mając środek, możesz wyznaczyć punkt C.
To samo robisz z punktem B, tyle że szukasz prostopadłej, która przechodzi przez punkt A.
Mając oba środki odcinków, liczysz wysokość trapezu (długość tego odcinka). Podstawy też z długości odcinka AB i CD.

[Grzechu1616]

zad2
narysuj sobie te punkty i oś symetrii. Teraz musisz napisać równania dwóch prostych, pierwsza prostopadła do osi symetrii i przechodząca przez D, a druga prostopadła do osi symetrii, przechodząca przez A. Następnie znajdujesz dwa punkty będące częścią wspólna prostej i osi symetrii, następnie z tw. o środku odcinka znajdujesz pozostałe dwa wierzchołki
Żeby znaleźć pole, musisz policzyć dł. podstaw, i wysokość (odległość punktu D od prostej prostopadłej do osi symetrii, przechodzącej przez punkt A).

[tometomek91]

1.
Wyznaczymy wektor \(\displaystyle{ \vec{AB}}\): punkt B jest oddalony od punktu A o 8 jednostek w prawo i 2 w dół, zatem:
\(\displaystyle{ \vec{AB} =[8;-2]}\).
Jest to równoległobok, więc zachodzi równość:
\(\displaystyle{ (*)\ \vec{AB} = \vec{DC}}\).
Współrzędne punktu D niech nazywają się \(\displaystyle{ (x_{D}; y_{D})}\).
Wektor \(\displaystyle{ \vec{DC}}\) ma, przy takich oznaczeniach, współrzędne:
\(\displaystyle{ \vec{DC}=[9-x_{D};1-y_{D}]}\).
Z nierówności \(\displaystyle{ (*)}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ [8;-2]=[9-x_{D};1-y_{D}] \Rightarrow x_{D}=1 \wedge y_{D}=3}\).
Mając współrzędne wszystkich wierzchołków, możemy łatwo obliczyć pole równoległoboku. Podzielimy go na dwa jednakowe trójkąty: ABC i ACD. Pole trójkąta o danych wierzchołkach A,B i C możemy obliczyć ze wzoru:
\(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{1}{2}|(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})-(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})|}\).
Więc pole równoległoboku ABCD jest równe:
\(\displaystyle{ P_{ABCD}=\frac{1}{2}|(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})-(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})|+\frac{1}{2}|(x_{D}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{D}-y_{A})|}\).

2.
Oś symetrii trapezu równoramiennego dzieli podstawy figury na połowy. Więc gdy przetnie podstawę AB w punkcie E, a podstawę CD w punkcie F, to zachodzą równości:
\(\displaystyle{ (*)\ \vec{AE}= \vec{EB}}\)
oraz
\(\displaystyle{ (**)\ \vec{DF}= \vec{FC}}\).
Możemy wyznaczyć punkty E i F. Znamy równanie osi symetrii, a korzystając z faktu, że podstawy są prostopadłe do owej i przechodzą przez dane punkty (A,D), otrzymujemy równania:
\(\displaystyle{ AB:\ y=2x-5\\
CD:\ y=2x+5}\)
Wyznaczamy E (punkt przecięcia AB i prostej k)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x-5 \\ x+2y=0 \end{cases} \Rightarrow E=(2;5)}\)
i punkt F:
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2x+5 \\ x+2y=0 \end{cases} \Rightarrow F=(-2;1)}\).
Wracając do \(\displaystyle{ (*)}\), mamy:
\(\displaystyle{ [2;10]=[x_{B}-2;y_{B}+5] \Rightarrow B=(4;5)}\)
oraz do \(\displaystyle{ (**)}\):
\(\displaystyle{ [1;2]=[x_{C}+2;y_{C}-1] \Rightarrow C=(-1;3)}\).
Pole wyliczamy analogicznie do zadania 1.

Mam nadzieję, że nie popełniłem błędu rachunkowego.

[jeal]

Jeszcze raz ponawiam moje pytanie dotyczące zadania pierwszego? Bo ten sposób z liczeniem długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego choć w teorii wydaje mi się prawidłowy to w wyliczeniach nie wychodzi. Jakieś pierwiastki mi się tworzą. Na dodatek to nie trójkąty ABC i ACD powinnam liczyć, tylko wg mojego rysunku ABD i CBD.

jak obliczyć wysokość równoległoboku?? podstawa a=10. wysokość powinna wyjść 6... Przedłużyłam podstawę równoległoboku i powstały mi dwa trójkąty przylegające, prostokątne. Przeciwprostokątna wynosi 3 \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\), jedna przyprostokątna to szukane h, a druga to 10-x, a to jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)h <-czy istnieje taka zależność w równoległoboku? bo wtedy by wychodziło...

A co do drugiego zadania punkt E (2,-1), f(-2,1). Czy to możliwe? Punkty B (4,3), a C (-1,3). Czy ktoś mógłby sprawdzić moje obliczenia? Bo nie mam odpowiedzi do tego zadania.
Poza tym nie mogę obliczyć pola dzieląc trapez na dwa trójkąty, jak radził tometomek91, bo nie są one prostokątne. Czy to nie długość odcinka EF jest wysokością? Do tego podstawy a i b są, czyli odcinki AB i DC... =)))
Bardzo proszę i czekam na odpowiedź...

[tometomek91]

Bo ten sposób z liczeniem długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego choć w teorii wydaje mi się prawidłowy to w wyliczeniach nie wychodzi.

Jakiego trójkąta? Żeby wyliczyć pole równoległoboku z zadania pierwszego, mozemy obliczyć długość odcinka AB (podstawa równoległoboku) oraz odległość punktu D od prostej AB (wysokość równoległoboku). Sposób przedstawiony wyżej jest prostszy.

Na dodatek to nie trójkąty ABC i ACD powinnam liczyć, tylko wg mojego rysunku ABD i CBD.

To bez znaczenia, czy dodamy pola trójkątów ABC i ACD, czy ABD i CBD:
\(\displaystyle{ P_{ABC}+P_{ACD}=P_{ABD}+P_{CBD}=P_{ABCD}}\)

Poza tym nie mogę obliczyć pola dzieląc trapez na dwa trójkąty, (...) bo nie są one prostokątne.

Nie muszą być prostokątne. Jeżeli znamy współrzędne wierzchołków trójkąta, to znamy jego pole.

[jeal]

Ale co to za wzór na pole trójkątów? Nigdy takiego nie widziałam, ani nie mogę znaleźć w internecie...

[tometomek91]

przedostatni wzór z tą macierzą.