najmniejsza odległość od danych punktów

[ancia_91]

Dane są punkty M=(-1,3) i N=(2,5). Na osi Ox znajdź taki punkt A, aby suma jego odległości od danych punktów była najmniejsza.

Próbowałam to zrobić tak:

A= (x,0)

MA= [x+1,-3]
NA= [x-2,-5]

\(\displaystyle{ \sqrt{(x+1) ^{2} +9} + \sqrt{(x-2) ^{2}+25 } = \sqrt{x ^{2}+2x+10 } + \sqrt{x ^{2}-4x+29 }=}\)i właśnie nie wiem co dalej

bardzo proszę o pomoc

[tometomek91]

Z Twojego zapisu wynika, że |AM|=|AN|. W zadaniu chodzi o to, by znaleźć \(\displaystyle{ f_{min}}\) gdzie \(\displaystyle{ f:\ y=|MA|+|NA|}\).

[ancia_91]

no właśnie to napisałam... tylko nie wiem jak z moich pierwiastków obliczyć \(\displaystyle{ f_{min}}\) czyli p.

[tometomek91]

no właśnie to napisałam... tylko nie wiem jak z moich pierwiastków obliczyć \(\displaystyle{ f_{min}}\) czyli p.

nie powiedziano, że musi to być funkcja kwadratowa.


\(\displaystyle{ A=(x;0)\\
M=(-1,3)\\
N=(2,5)}\)
Liczymy odległości:
\(\displaystyle{ |AM|=\sqrt{(1+x)^{2}+9}\\
|AN|=\sqrt{(2-x)^{2}+25}}\)
Zatem nasza funkcja to:
\(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{(1+x)^{2}+9}+\sqrt{(2-x)^{2}+25}}\)
Jak widać nie jest to funkcja kwadartowa, a do wyliczenia minimalnej wartości należy zastosować rachunek różniczkowy.
W naszych obliczeniach skorzystamy z faktu, że długość łamanej ANM jest najmniejsza, gdy punkty M, A i N' (gdzie N' to symetria punktu N wzgędem osi OX) są współliniowe.
Po przekształceniu, punkt N' ma współrzędne (2;-5). Napiszmy równanie prostej przechodzącej przez punkty M i N':
\(\displaystyle{ y=-\frac{8}{3}x+\frac{1}{3}}\)
Wyznaczamy miejsce zerowe:
\(\displaystyle{ -\frac{8}{3}x+\frac{1}{3}=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{8}}\)
Więc współrzędne punktu a to \(\displaystyle{ (\frac{1}{8}; 0)}\).

Mam nadzieję, że nie machnąłem się w obliczbeniach (jakieś podejrzany wynik).

Pozdrawiam, Tomasz.

[ancia_91]

aaaaha
dzięki wielkie :]

[marvil666]

Mógłby ktoś wytłumaczyć to rozwiązanie. Wynik jest dobry, ale nie jest poparty żadnymi twierdzeniami i troszeczkę go nie rozumiem ;p

Pozdrawiam

[tometomek91]

Niech dane będą dwa różne punkty \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) na płaszczyźnie i niech punkt \(\displaystyle{ A}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ A=(x,ax+b)}\). Spróbuj udowonić:
Długośc łamanej \(\displaystyle{ NAM}\) jest najmniejsza, jeśli punkty \(\displaystyle{ NAM'}\) są współliniowe, gdzie \(\displaystyle{ M'}\) to symetria punktu \(\displaystyle{ M}\) względem prostej \(\displaystyle{ y=ax+b}\).
Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?

[marvil666]

Okej już widzę, z warunku istnienia trójkąta taK? c<a+b

[tometomek91]

Nie.

Napisałem z jakiego faktu skorzystałem w rozwiązaniu, dobrym ćwiczeniem jest udowodnienie tego faktu