równanie okręgu opisanego

[Natalia007]

W trójkącie ABC wierzchołki mają współrzędne A (-7, -1), B (-1,-3), C (-5,1).
a) Sprawdź czy trójkąt ABC jest prostokątny.
b) Oblicz pole trójkąta ABC.
c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

[Crizz]

Wyznaczasz wektory zawierające trzy boki trójkąta:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[6,-2]}\)
\(\displaystyle{ \vec{BC}=[-4,4]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[2,2]}\)

Na oko widać, że iloczyn skalarny wektorów AC i BC jest równy zeru:
\(\displaystyle{ \vec{AC} \circ \vec{BC}=[-4,4] \circ [2,2]=-8+8=0}\),
czyli trójkąt jest prostokątny.

Skoro widzisz, że kąt prosty jest przy wierzchołku C, to obliczasz długość tych wektorów:
\(\displaystyle{ |\vec{BC}|=|[-4,4]|=\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ |\vec{AC}|=|[2,2]|=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}}\)
Są to jednocześnie długości przyprostokątnych trójkąta, jego pole wynosi zatem \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}}\)

Skoro trójkąt jest prostokątny, to okrąg opisany na tym trójkącie ma środek w połowie przeciwprostokątnej, a promień równy połowie jej długości. Korzystasz ze wzoru na środek odcinka:
\(\displaystyle{ S_{AB}=\left(\frac{-7-1}{2},\frac{-1-3}{2}\right)=(-4,-2)}\)
Masz już wyznaczone współrzędne wektora AB, więc łatwo obliczyć jego długość: \(\displaystyle{ 2r=\sqrt{6^{2}+(-2)^{2}}=2\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ r=\sqrt{10}}\)

Szukany okrąg ma zatem równanie \(\displaystyle{ (x+4)^{2}+(y+2)^{2}=10}\).