oblicz a jeżeli, f(x) ma dwa miejsca wspólne z okręgiem

[matthiaskr]

Wykres funkcji \(\displaystyle{ a y = x}\) , gdzie \(\displaystyle{ a \neq 0}\) przesunięto o wektor [2,3] i otrzymano wykres funkcji, która ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o równaniu \(\displaystyle{ x^2 -4x + y^2 -6y + 12 = 0}\). Wyznacz a .

zrobiłem szkic rysunku, do pomocy, naszkicowałem koło również przesunąłem osie x i y o wektor i dalej utknąłem, jakby mógłby ktoś pomóc byłbym wdzięczny

[lukasz1804]

Po przesunięciu o dany wektor dostajemy wykres funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{x-2}{a}+3}\). Wystarczy zbadać, dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} y=\frac{x-2}{a}+3 \\ x^2-4x+y^2-6y+12=0 \end{cases}}\), lub wynikające z niego równanie

\(\displaystyle{ (x-2)^2+(\frac{x-2}{a})^2=1}\)

ma dwa rozwiązania. Mamy zatem \(\displaystyle{ (x-2)^2=\frac{a^2}{a^2+1}}\). Łatwo sprawdzić, że dla każdego \(\displaystyle{ a\ne 0}\) otrzymane przed chwilą równanie ma dwa rozwiązania, więc każda liczba \(\displaystyle{ a\ne 0}\) spełnia warunki zadania.

Można było również wykorzystać w rozwiązaniu wzajemne położenie prostej i okręgu.