W trapezie ABCD, gdzie AB || CD, A=(-4,2), B=(5,11), C=(7,1) a punkt D nalezy do prostej y=13x-54. Oblicz:
a) współrzędne wierzchołka D
b) pole trapezu
Trapez ABCD
-
Qdlaty1419
- Użytkownik
- Posty: 27
- Rejestracja: 29 paź 2009, o 21:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Celestynów
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Trapez ABCD
a) Skoro \(\displaystyle{ D}\) leży na prostej \(\displaystyle{ y=13x-54}\), to \(\displaystyle{ D=(x,13x-54)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\). Z warunku \(\displaystyle{ AB\paralel CD}\) wynika, że wektory \(\displaystyle{ \vec{AB}, \vec{CD}}\) są równoległe. Zatem istnieje \(\displaystyle{ k\ne 0}\), że \(\displaystyle{ \vec{AB}=k\cdot\vec{CD}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \vec{AB}=[9,9], \vec{CD}=[x-7,13x-55]}\), to z powyższego dostajemy
b) Mamy \(\displaystyle{ \vec{AB}=[9,9], \vec{AD}=[8,-4], \vec{CB}=[-2,10], \vec{CD}=[-3,-3]}\). Dzieląc trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) przekątną \(\displaystyle{ BD}\) na trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ BCD}\), możemy obliczyć pole tego trapezu jako sumę pól dwóch trójkątów. Mamy przy tym z powyższego \(\displaystyle{ P_{ABD}=\frac{1}{2}|\det(\vec{AB}, \vec{AD})|=\frac{1}{2}|-36-72|=54}\), \(\displaystyle{ P_{BCD}=\frac{1}{2}|\det(\vec{CB}, \vec{CD})|=\frac{1}{2}|6+30|=18}\). Zatem pole trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\) wynosi \(\displaystyle{ 54+18=72}\).
\(\displaystyle{ 9=k(x-7)}\) oraz \(\displaystyle{ 9=k(13x-55)}\).
Stąd w szczególności \(\displaystyle{ x-7=13x-55}\), czyli \(\displaystyle{ x=4}\) i w konsekwencji mamy \(\displaystyle{ D=(4,-2)}\).b) Mamy \(\displaystyle{ \vec{AB}=[9,9], \vec{AD}=[8,-4], \vec{CB}=[-2,10], \vec{CD}=[-3,-3]}\). Dzieląc trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) przekątną \(\displaystyle{ BD}\) na trójkąty \(\displaystyle{ ABD}\) i \(\displaystyle{ BCD}\), możemy obliczyć pole tego trapezu jako sumę pól dwóch trójkątów. Mamy przy tym z powyższego \(\displaystyle{ P_{ABD}=\frac{1}{2}|\det(\vec{AB}, \vec{AD})|=\frac{1}{2}|-36-72|=54}\), \(\displaystyle{ P_{BCD}=\frac{1}{2}|\det(\vec{CB}, \vec{CD})|=\frac{1}{2}|6+30|=18}\). Zatem pole trapezu \(\displaystyle{ ABCD}\) wynosi \(\displaystyle{ 54+18=72}\).