Proste w przestrzeni

[krzysiek1]

Kto mi pomoże?

Prosta \(\displaystyle{ g_1}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (1,0,1)}\) i \(\displaystyle{ (2,1,1)}\).
Prosta \(\displaystyle{ g_2}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ (0,1,1)}\) i \(\displaystyle{ (1,1,0)}\).
Problem:
-wyznaczyć punkt \(\displaystyle{ P_1}\) na \(\displaystyle{ g_1}\) i punkt \(\displaystyle{ P_2}\) na \(\displaystyle{ g_2}\), gdzie odcinek \(\displaystyle{ P_1P_2}\) będzie najkrótszą odległością tych prostych.
-Określić odległość tych prostych.

[Crizz]

Najpierw znajdujesz wektor prostopadły do obu tych prostych:
Wektor kierunkowy \(\displaystyle{ g_{1}}\): \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,1,0]}\)
Wektor kierunkowy \(\displaystyle{ g_{2}}\): \(\displaystyle{ \vec{v}=[1,0,-1]}\)

Szukanym wektorem jest iloczyn wektorowy tych wektorów:
\(\displaystyle{ \vec{w}=\vec{u} \times \vec{v}=[-1,1,-1]}\)

Teraz znajdujesz wektor równoległy do znalezionego wektora, który zaczyna się w pewnym punkcie A prostej \(\displaystyle{ g_{1}}\) i kończy w pewnym punkcie B prostej \(\displaystyle{ g_{2}}\):

Równanie prostej \(\displaystyle{ g_{1}}\): \(\displaystyle{ (x,y,z)=s(1,1,0)+(1,0,1)}\)
Równanie prostej \(\displaystyle{ g_{2}}\): \(\displaystyle{ (x,y,z)=t(1,0,-1)+(0,1,1)}\)

Niech \(\displaystyle{ A=(s+1,s,1),B=(t,1,-t+1)}\), wówczas \(\displaystyle{ \vec{AB}=[t-s-1,1-s,-t]}\). Trzeba teraz znaleźć takie wartości \(\displaystyle{ s,t}\), zeby poszczególne współrzędne były proporcjonalne do wektora \(\displaystyle{ \vec{w}}\). Jeśli \(\displaystyle{ \vec{AB}=r\vec{w}}\), to \(\displaystyle{ [t-s-1,1-s,-t]=[-r,r,-r]}\), czyli wystarczy teraz rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} t-s-1=-r \\ 1-s=r \\-t=-r \end{cases}}\)
Po rozwiązaniu tego ukadu dostaniesz współrzędne punktów A i B, i w sumie zadanie jest rozwiązane.

[krzysiek1]

Crizz.
Perfekt! 1000 x Wielkie Dzieki!
Brakowalo mi podstaw.