polecenie brzmi:
wyprowadź wzór na iloczyn skalarny:
\(\displaystyle{ \langle\vec{v},\vec{w}\rangle=\frac{1}{2} \left( |\vec{v}|^2 + |\vec{w}|^2 - |\vec{v} - \vec{w}|^2\right)}\)
robię w ten sposób:
\(\displaystyle{ |\vec{v}+\vec{w}|^2 = \langle\vec{v}+\vec{w},\vec{v}+\vec{w}\rangle= |\vec{v}|^2+2\langle v,w\rangle+|\vec{w}|^2}\)
\(\displaystyle{ |\vec{v} - \vec{w}|^2 = \langle\vec{v}-\vec{w},\vec{v}-\vec{w}\rangle= |\vec{v}|^2-2\langle v,w\rangle+|\vec{w}|^2\\}\)
odejmuję stronami i otrzymuje
\(\displaystyle{ \langle\vec{v},\vec{w}\rangle=\frac{1}{4}\left( |\vec{v}+\vec{w}|^2- |\vec{v}-\vec{w}|^2 \right)}\)
jak dalej?
iloczyn skalarny
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
iloczyn skalarny
Wystarczy Ci tylko równość
\(\displaystyle{ |\vec{v} - \vec{w}|^2 = \langle\vec{v}-\vec{w},\vec{v}-\vec{w}\rangle= |\vec{v}|^2-2\langle v,w\rangle+|\vec{w}|^2\\}\). Mamy równoważnie \(\displaystyle{ 2\langle v,w\rangle=|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2-|\vec{v} - \vec{w}|^2}\) i dzieląc tę równość stronami przez 2 dostajemy żądaną zależność.
\(\displaystyle{ |\vec{v} - \vec{w}|^2 = \langle\vec{v}-\vec{w},\vec{v}-\vec{w}\rangle= |\vec{v}|^2-2\langle v,w\rangle+|\vec{w}|^2\\}\). Mamy równoważnie \(\displaystyle{ 2\langle v,w\rangle=|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2-|\vec{v} - \vec{w}|^2}\) i dzieląc tę równość stronami przez 2 dostajemy żądaną zależność.