Napisz równnie stycznych do okręgu o równaniu

[plancys]

\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - 10x + 4y + 25 = 0}\) przechodzących przez początek układu współrzędnych.

[Crizz]

Prosta przechodząca przez początek układu współrzednych, o ile nie jest równoległa do osi Oy, ma równanie \(\displaystyle{ y=ax}\).

Szukasz takiego a, dla którego układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2} + y^{2} - 10x + 4y + 25 = 0 \\ y=ax \end{cases}}\)
ma jedno rozwiązanie, czyli takiego a, dla którego równanie:
\(\displaystyle{ x^{2} + (ax)^{2} - 10x + 4ax + 25 = 0}\)
ma jedno rozwiązanie (kiedy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie?)

Jak już rozwiążesz ten problem, to pomyśl jeszcze, jak sprawdzić, czy prosta \(\displaystyle{ x=0}\) nie jest również rozwiązaniem zadania.

[plancys]

Polecenie było "Napisz równania..." , mój błąd (literówka) a takowe są 2. Jak robiłem sam to zadanie stanąłem na tym etapie i nie potrafiłem ruszyć bo delta dziwaczna wychodziła.

[Quaerens]

Początek układu współrzędnych: \(\displaystyle{ P=(0,0)}\). Środek koła i jego promień:\(\displaystyle{ S=(5,-2)}\) \(\displaystyle{ r=2}\)

\(\displaystyle{ \frac{|Ax+By+C|}{ \sqrt{A^{2}+B^{2}}}=2}\)

[actraz]

lepiej sobie to B wykluczyc, mamy dane:
\(\displaystyle{ o:(x-5)^{2}+(y+2)^2=4}\)
\(\displaystyle{ y=Ax \Rightarrow Ax-y=O}\)
\(\displaystyle{ S=(5,-2)}\)
Więc tak jak wyżej z odleglości:
\(\displaystyle{ \frac{|5A+2|}{ \sqrt{A^{2}+1}}=2}\)
\(\displaystyle{ \left|5A+2 \right|=2 \sqrt{A^{2}+1}}\) obustronnie do kwadratu
\(\displaystyle{ 25A^{2}+20A+4=4A^{2}+4}\)
\(\displaystyle{ 21A^{2}+20A=0}\)
\(\displaystyle{ A(21A+20)=0}\)
\(\displaystyle{ A_1=0 \wedge A_2=- \frac{20}{21}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ y_1=0 \wedge y_2=- \frac{20}{21}x}\)

[Quaerens]

Tam zamiast \(\displaystyle{ B^{2}}\) jest 1. Dlaczego? Nie mogę dostrzec w jaki sposób je wykluczyłeś.

[actraz]

Ponieważ moja prosta ma równanie:
\(\displaystyle{ Ax-y=O}\) porównując z wzorem ogólnym
\(\displaystyle{ Ax+By+C=O}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ A=A \wedge B=-1 \wedge C=0}\)