Uzasadnij, że okręgi o równaniach:
\(\displaystyle{ o_{1} : x^{2}+y^{2}+8x-4y+4=0, o_{2} : x^{2}+y^{2}-2x-6y+1=0}\)
przecinają się.
Napisz równanie symetralnej wspólnej cięciwy tych okręgów.
Prosiłbym o tłumaczenie albo obliczenia, a nie sam wynik. Z góry dziękuję.
Wspólna cięciwa okręgów
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Wspólna cięciwa okręgów
Aby wykazać, że okręgi się przecinają rozwiąż układ równań złożony z równań danych okręgów - otrzymasz dwie pary punktów \(\displaystyle{ (x_1,y_1), (x_2,y_2)}\).
Następnie wystarczy skorzystać z własności symetralnej odcinka jako prostej równoodległej od końców odcinka. Niech \(\displaystyle{ (x,y)}\) będzie dowolnym punktem na tej symetralnej. Wtedy mamy \(\displaystyle{ \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}=\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}}\), czyli \(\displaystyle{ (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}\). Wystarczy wstawić obliczone powyżej wartości \(\displaystyle{ x_1, y_1, x_2, y_2}\) i skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia dokonać redukcji wyrazów podobnych - otrzymamy równanie szukanej symetralnej.
Następnie wystarczy skorzystać z własności symetralnej odcinka jako prostej równoodległej od końców odcinka. Niech \(\displaystyle{ (x,y)}\) będzie dowolnym punktem na tej symetralnej. Wtedy mamy \(\displaystyle{ \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}=\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}}\), czyli \(\displaystyle{ (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}\). Wystarczy wstawić obliczone powyżej wartości \(\displaystyle{ x_1, y_1, x_2, y_2}\) i skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia dokonać redukcji wyrazów podobnych - otrzymamy równanie szukanej symetralnej.
Wspólna cięciwa okręgów
Nie mogę wyznaczyć tych dwóch par punktów wyszedł mi taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 26x^{2}+43x=-\frac{49}{4}\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\)
I nie wiem co dalej zrobić. Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu go.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 26x^{2}+43x=-\frac{49}{4}\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\)
I nie wiem co dalej zrobić. Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu go.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Wspólna cięciwa okręgów
Skoro
\(\displaystyle{ \begin{cases} 26x^{2}+43x=-\frac{49}{4}\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\), to \(\displaystyle{ \begin{cases} 26x^{2}+43x+\frac{49}{4}=0\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\), więc \(\displaystyle{ \begin{cases} 26x^{2}+43x+\frac{49}{4}=0\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\), czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{-43-5\sqrt{23}}{52}\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{-43+5\sqrt{23}}{52}\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\). To daje, że \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=\frac{-43-5\sqrt{23}}{52}\\y_1=\frac{137+25\sqrt{23}}{52}\end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases} x_2=\frac{-43+5\sqrt{23}}{52}\\y_2=\frac{137-25\sqrt{23}}{52}\end{cases}}\).
\(\displaystyle{ \begin{cases} 26x^{2}+43x=-\frac{49}{4}\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\), to \(\displaystyle{ \begin{cases} 26x^{2}+43x+\frac{49}{4}=0\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\), więc \(\displaystyle{ \begin{cases} 26x^{2}+43x+\frac{49}{4}=0\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\), czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{-43-5\sqrt{23}}{52}\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{-43+5\sqrt{23}}{52}\\y=-5x-\frac{3}{2}\end{cases}}\). To daje, że \(\displaystyle{ \begin{cases} x_1=\frac{-43-5\sqrt{23}}{52}\\y_1=\frac{137+25\sqrt{23}}{52}\end{cases}}\) lub \(\displaystyle{ \begin{cases} x_2=\frac{-43+5\sqrt{23}}{52}\\y_2=\frac{137-25\sqrt{23}}{52}\end{cases}}\).
Wspólna cięciwa okręgów
Ale doszedłem do wniosku że aby wyznaczyć symetralną tej cięciwy wystarczy wyznaczyć prostą przechodzącą przez środki okręgów. Dobrze myślę?