znajdowanie punktow

isunia · Post autor: **isunia** » 10 mar 2010, o 12:07

Jeżeli mamy podane dwa punkty, np. \(\displaystyle{ A(-1,3)}\) i \(\displaystyle{ B(2,5)}\) to jak znaleźć na osi \(\displaystyle{ OX}\) punkt \(\displaystyle{ C}\), tak żeby suma jego odległości od danych pktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) była najmniejsza?
To samo pytanie, jeśli mamy podane dwa punkty \(\displaystyle{ (0,0)}\) i \(\displaystyle{ (4,4)}\) oraz jakiś punkt należący do paraboli \(\displaystyle{ y=2x^2+3}\) i musimy znaleźć współrzędne tego punktu tak aby pole trójkąta o wierzchołkach w podanych punktach i w punkcie na paraboli było najlmniejsze?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 10 mar 2010, o 12:36

W pierwszym zadaniu wykaż, że punkt \(\displaystyle{ C}\) jest punktem przecięcia z osią \(\displaystyle{ OX}\) prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A}\) i punkt \(\displaystyle{ B'}\) symetryczny do \(\displaystyle{ B}\) względem tej osi, tj. punkt \(\displaystyle{ B'=(2,-5)}\) (lub równoważnie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ B}\) i punkt \(\displaystyle{ A'=(-1,-3)}\)).
Dowodząc, że obrany punkt \(\displaystyle{ C}\) jest właściwy, rozważ dowolny punkt \(\displaystyle{ C'\ne C}\) leżący na osi \(\displaystyle{ OX}\) i korzystając z warunku trójkąta sprawdź, że \(\displaystyle{ |AC'|+|BC'|>|AC|+|BC|}\).

W drugim zadaniu oznaczmy \(\displaystyle{ A=(0,0), B=(4,4), C=(x,2x^2+3)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\). Mamy \(\displaystyle{ \vec{AB}=[4,4], \vec{AC}=[x,2x^2+3]}\). Opierając się o wzór na pole trójkąta rozważmy funkcję \(\displaystyle{ P(x)=\frac{1}{2}|\det(\vec{AB},\vec{AC}|=\frac{1}{2}|4(2x^2+3)-4x|=2|2x^2-x+3|}\). Wystarczy teraz znaleźć \(\displaystyle{ x}\), dla którego \(\displaystyle{ P(x)}\) ma najmniejszą wartość.

isunia · Post autor: **isunia** » 10 mar 2010, o 18:31

ojej, na to pierwsze w życiu bym nie wpadła. Czy to jest jakieś twierdzenie lub określony sposób rozwiązywania tego typu zadań czy jest to osobisty pomysł?:)

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 10 mar 2010, o 20:19

Tego typu zadanie można rozwiązać jako zadanie optymalizacyjne, z użyciem metod rachunku różniczkowego, jednak ze względu na skomplikowane rachunki nie opłaca się przedstawiać tutaj pełnego, żmudnego rozumowania.

isunia · Post autor: **isunia** » 10 mar 2010, o 21:26

a mógłbyś napisać dlaczego taki wzór na pole w 2 zad. (co oznacza "det"), bo jak sama próbowałam zrobić to pole liczyłam ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{1}{2} h \cdot a}\) gdzie a=|AB| a h to odległość punktu C od prostej przechodzącej przez punkty A i B.. więc nie rozumiem skąd ci się wziął nagle taki wzór:(

i drugie pytanie- jak udowodnić tok rozumowania z 1 zadania,tzn skąd wziąłeś te punkty symetryczne i skąd wiedziałeś,że trzeba policzyć takie a nie inne długości (muszę to wyjaśnij w oddawanym teście a poza tym chciałabym zrozumieć czemu).

z góry dziękuję za odpowiedź.