Witam!
Mam do rozwiązania zadanie w którym muszę obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach trzema sposobami.
Dane:
A(1,1,1)
B(2,2,-3)
C(-1,3,0)
Ja niestety znam tylko dwa sposoby, którymi mogę to obliczyć (iloczyn wektorowy i wzór herona) jeżeli ktoś zna jeszcze jakieś sposoby, to prosiłbym by je tu zamieścił, nawet więcej niż 1, bo z tym heronem to się na poprawce nie wyrobię...
Wiem jeszcze niby, że mógłbym sobie wyznaczyć prostą przechodzącą przez punkty B,C i obliczyć odległość A od tej prostej i miałbym wysokość, lecz nie umiem wyznaczyć prostej w przestrzeni...
Z góry dziękuję za wszelką pomoc
Pole trójkąta
Pole trójkąta
Ostatnio zmieniony 10 mar 2010, o 13:57 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Pole trójkąta
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=(x_{1}-x_{2})t+x_{1} \\ y=(y_{1}-y_{2})t+y_{1} \\ z=(z_{1}-z_{2})t+z_{1} \end{cases}}\)
Stąd równanie prostej AB możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t+1 \\ y=t+1 \\ z=-4t+1 \end{cases}}\)
Wektorem kierunkowym tej prostej jest \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,1,-4]}\)
Niech \(\displaystyle{ C'=(t+1,t+1,-4t+1)}\) będzie rzutem C na prostą AB, wtedy:
\(\displaystyle{ \vec{CC'}=[t+2,t-2,-4t+1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{CC'} \circ \vec{u}=0}\)
Z ostatniego warunku wyznaczasz t i znajdujesz w ten sposób współrzędne wektora CC'. Jego długość to oczywiście odległość punktu C od prostej AB.
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=(x_{1}-x_{2})t+x_{1} \\ y=(y_{1}-y_{2})t+y_{1} \\ z=(z_{1}-z_{2})t+z_{1} \end{cases}}\)
Stąd równanie prostej AB możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t+1 \\ y=t+1 \\ z=-4t+1 \end{cases}}\)
Wektorem kierunkowym tej prostej jest \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,1,-4]}\)
Niech \(\displaystyle{ C'=(t+1,t+1,-4t+1)}\) będzie rzutem C na prostą AB, wtedy:
\(\displaystyle{ \vec{CC'}=[t+2,t-2,-4t+1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{CC'} \circ \vec{u}=0}\)
Z ostatniego warunku wyznaczasz t i znajdujesz w ten sposób współrzędne wektora CC'. Jego długość to oczywiście odległość punktu C od prostej AB.