Niech \(\displaystyle{ \alpha : I \rightarrow R ^{3}}\) będzie regularną sparametryzowaną krzywą (niekoniecznie przez długość łuku) i nich \(\displaystyle{ \beta : J \rightarrow R ^{3}}\) będzie przeparametryzowaną krzywą \(\displaystyle{ \alpha (I)}\) przez długość łuku \(\displaystyle{ s = s(t)}\), mierzoną od \(\displaystyle{ t _{0} \in I.}\) Niech \(\displaystyle{ t = t(s)}\) będzie dowrotną funkcją do \(\displaystyle{ s}\) i ustalmy:
\(\displaystyle{ \frac{d \alpha }{dt} = \alpha ^{'}}\), \(\displaystyle{ \frac{d ^{2} \alpha }{dt ^{2} } = \alpha ^{''}}\), ect. Dowiedź, że:
a) \(\displaystyle{ \frac{dt}{ds} = \frac{1}{ \left| \alpha ^{'} \right| }}\),
\(\displaystyle{ \frac{d ^{2}t }{ds ^{2} } = - \frac{ \alpha ^{'} \cdot \alpha ^{''} }{ \left| \alpha ^{'} \right| ^{4} }}\)
b) Krzywizna krzywej \(\displaystyle{ \alpha}\) w \(\displaystyle{ t \in I}\) wynosi: \(\displaystyle{ k(t) = \frac{ \left| \alpha ^{'} \wedge \alpha ^{''} \right| }{ \left| \alpha ^{'} \right| ^{3} }}\)
c) Skręcenie krzywej \(\displaystyle{ \alpha}\) w \(\displaystyle{ t \in I}\) wynosi:
\(\displaystyle{ \tau(t) = - \frac{( \alpha ^{'} \wedge \alpha ^{''} ) \cdot \alpha ^{'''} }{ \left| \alpha ^{'} \wedge \alpha ^{''} \right| ^{2} }}\)
d) Jeżeli \(\displaystyle{ \alpha : I \rightarrow R ^{2}}\) jest płaską krzywą: \(\displaystyle{ \alpha (t) = (x(t), y(t))}\) to krzywizna krzywej \(\displaystyle{ \alpha}\) w \(\displaystyle{ t}\) jest oznaczona wzorem:
\(\displaystyle{ k(t) = \frac{x ^{'}y ^{''} - x ^{''}y ^{'} }{((x ^{'} ) ^{2} + (y ^{'}) ^{2} ) ^{ \frac{3}{2} } }}\)