Z początku układu współrzędnych poprowadzono cięciwy okręgu \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=2ax}\). Znaleźć zbiór wszystkich środków tych cięciw.
Będę wdzięczna za pomoc
Znaleźć zbiór środków cięciw okręgu
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Znaleźć zbiór środków cięciw okręgu
Ten zbiór to okrąg \(\displaystyle{ \left( x- \frac a2 \right)^2 + y^2= \left(\frac a2 \right)^2}\)
Można do tej odpowiedzi dojść rachunkowo, ale efektowniej jest popatrzeć na to geometrycznie:
Okrąg z zadania jest obrazem podanego okręgu w jednokładności o środku w \(\displaystyle{ O(0,0)}\) i skali \(\displaystyle{ k=2}\). Stąd jeśli do tego okręgu należy punkt \(\displaystyle{ A(x,y)}\), to punkt \(\displaystyle{ A' (2x,2y)}\) należy do okręgu z zadania, a co więcej \(\displaystyle{ A}\) jest środkiem cięciwy \(\displaystyle{ OA'}\). Z tego, że jednokładność przekształca te okręgi wzajemnie jednoznacznie wynika, że każdy punkt podanego okręgu jest środkiem pewnej cięciwy oraz że każdy środek cięciwy należy do tegoż okręgu. Tak więc istotnie szukany zbiór to rzeczony okrąg.
Q.
Można do tej odpowiedzi dojść rachunkowo, ale efektowniej jest popatrzeć na to geometrycznie:
Okrąg z zadania jest obrazem podanego okręgu w jednokładności o środku w \(\displaystyle{ O(0,0)}\) i skali \(\displaystyle{ k=2}\). Stąd jeśli do tego okręgu należy punkt \(\displaystyle{ A(x,y)}\), to punkt \(\displaystyle{ A' (2x,2y)}\) należy do okręgu z zadania, a co więcej \(\displaystyle{ A}\) jest środkiem cięciwy \(\displaystyle{ OA'}\). Z tego, że jednokładność przekształca te okręgi wzajemnie jednoznacznie wynika, że każdy punkt podanego okręgu jest środkiem pewnej cięciwy oraz że każdy środek cięciwy należy do tegoż okręgu. Tak więc istotnie szukany zbiór to rzeczony okrąg.
Q.