Równanie okręgu + funkcja kwadratowa z parametrem

[szymek]

Liczby\(\displaystyle{ x_{1} x_{2}}\) sa roznymi pierwiastami rownania \(\displaystyle{ x^{2} - 2 \sqrt{2} x + p^{2} +1 = 0}\)Dla jakich wartosci parametru p punkt \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2})}\) należy do koła o środku S=(0,0) i promieniu długości \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)

Obliczyłem sobie, że parametr p dla dwóch rozwiązań musi zawierać się w przedziale \(\displaystyle{ (-1;1)}\)

Później stosując wzory Viete'a w równaniu okręgu dla promienia \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) obliczyłem, że p musi być równe:

\(\displaystyle{ p= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) \(\displaystyle{ \vee}\) \(\displaystyle{ p=- \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Wszystko ok jak do tej pory, ale teraz odpowiedzią w zadaniu jest przedział \(\displaystyle{ (-1;- \frac{ \sqrt{2} }{2}> \cup < \frac{ \sqrt{2} }{2};1)}\)

I tego nie rozumiem, bo przecież wyliczyłem konkretne p dla konkretnej długości promienia, więc dlaczego inne liczby w tym przedziale będą spełniać równanie?

[lukasz1804]

Skoro \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) mają być dwoma różnymi pierwiastkami danego równania, to mamy rzeczywiście

\(\displaystyle{ p\in(-1,1)}\)

. Przynależność liczb \(\displaystyle{ x_1, x_2}\) do danego koła oznacza, że \(\displaystyle{ x_1^2+x_2^2\le 5}\), tj. \(\displaystyle{ (x_1+x_2)^2\le 2x_1x_2+5}\). Stąd mamy \(\displaystyle{ 8\le 2(p^2+1)+5}\), czyli \(\displaystyle{ 2p^2-1\ge 0}\) i mamy

\(\displaystyle{ p\le-\frac{\sqrt{2}}{2}\vee p\ge\frac{\sqrt{2}}{2}}\)

.
Obydwa warunki dają w konsekwencji warunek zamieszczony w odpowiedziach.

[zati61]

koła to nie to samo co okrąg:)

[szymek]

Podziękował