Ćwiczenia na wektorach

[Kasia1905]

Podaj przykłady dwóch wektorów, dla których długość ich sumy jest równa wartości bezwzględnej różnicy ich długości. Jak doszliście do rozwiązania??

[lukasz1804]

Spójrzmy na zagadnienie ogólnie. Oznaczmy dane wektory przez \(\displaystyle{ \vec{v},\vec{w}}\). Z założenia mamy \(\displaystyle{ \|\vec{v}+\vec{w}\|=|\|\vec{v}\|-\|\vec{w}\||}\). Ponieważ dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\) prawdziwa jest równość \(\displaystyle{ \|\vec{u}\|=\sqrt{<u|u>}}\), gdzie \(\displaystyle{ <\cdot|\cdot>}\) jest iloczynem skalarnym wektorów, to z powyższego mamy \(\displaystyle{ \sqrt{<\vec{v}+\vec{w}|\vec{v}+\vec{w}>}=|\|\vec{v}\|-\|\vec{w}\||}\). Obie strony otrzymanej równości mają wartość nieujemną, więc podnosząc je stronami do kwadratu otrzymujemy równoważnie \(\displaystyle{ <\vec{v}+\vec{w}|\vec{v}+\vec{w}>=\|\vec{v}\|^2-2\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|+\|\vec{w}\|^2}\). Z drugiej strony z własności iloczynu skalarnego mamy \(\displaystyle{ <\vec{v}+\vec{w}|\vec{v}+\vec{w}>=<\vec{v}|\vec{v}>+2<\vec{v}|\vec{w}>+<\vec{w}|\vec{w}>}\), tj. \(\displaystyle{ <\vec{v}+\vec{w}|\vec{v}+\vec{w}>=\|\vec{v}\|^2+2<\vec{v}|\vec{w}>+\|\vec{w}\|^2}\). Stąd i z powyższego dostajemy \(\displaystyle{ <\vec{v}|\vec{w}>=-\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|}\). Jednak z definicji iloczynu skalarnego jest również \(\displaystyle{ <\vec{v}|\vec{w}>=\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|\cos\angle(\vec{v},\vec{w})}\). Wobec tego mamy \(\displaystyle{ \vec{v}=0}\) lub \(\displaystyle{ \vec{w}=0}\), lub \(\displaystyle{ \cos\angle(\vec{v},\vec{w})=-1}\), tj. przynajmniej jeden z wektorów \(\displaystyle{ \vec{v},\vec{w}}\) jest wektorem zerowym lub wektory te są wektorami przeciwnymi.