Wyznacz współrzędne wierzchołka C.

[Semtex4]

Punkty A=(-9,-3) i B=(5,5) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC, w którym AB jest przeciwprostokątną. Wyznacz współrzędne wierzchołka C wiedząc, że leży on na osi Ox.

[Crizz]

Opiszmy okrąg na trójkącie ABC. Skoro jest to trójkąt prostokątny, to środkiem okręgu jest środek przeciwprostokątnej, czyli punkt \(\displaystyle{ S=\left(\frac{-9+5}{2},\frac{-3+5}{2}\right)=(-2,1)}\), natomiast promień ma długość \(\displaystyle{ |SB|=\sqrt{(5+2)^{2}+(5-1)^{2}}=\sqrt{65}}\). Równanie okręgu ma zatem postać \(\displaystyle{ (x+2)^{2}+(y-1)^{2}=65}\). Współrzędne wierzchołka C otrzymujemy, podstawiając do równania okręgu \(\displaystyle{ y=0}\):
\(\displaystyle{ (x+2)^{2}=64}\)
\(\displaystyle{ x+2=8 \vee x+2=-8}\)
\(\displaystyle{ x=6 \vee x=-10}\)
odp. \(\displaystyle{ C=(6,0) \vee C=(-8,0)}\).