układ równań i interpretacja geometryczna

[v_vizis]

Rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases} y=|x-1|\\ x ^{2}+y ^{2}-2x-4y+1=0 \end{cases}}\) i podaj interpretację geometryczną tego układu.

Proszę o dokładne rozwiązanie tegoo zadania i wskazówki.
Pozdrawiam

[Crizz]

Drugie równanie przekształcasz do postaci kanonicznej (jest to oczywiście równanie okręgu):
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+1+y^{2}-4y+4=4}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4}\)

Zauważasz, że \(\displaystyle{ (x-1)^{2}=(|x-1|)^{2}=y^{2}}\), zatem:

\(\displaystyle{ y^{2}+(y-2)^{2}=4}\)
\(\displaystyle{ 2y^{2}-4y=0}\)
\(\displaystyle{ 2y(y-2)=0}\)
\(\displaystyle{ y=0 \vee y=2}\)
Rozwiązaniami są liczby \(\displaystyle{ x=1,y=0}\) lub \(\displaystyle{ x=3,y=2}\) lub \(\displaystyle{ x=-1,y=2}\)
(\(\displaystyle{ x=3}\) oraz \(\displaystyle{ x=-1}\) to rozwiązani równania \(\displaystyle{ |x-1|=2}\)).

Interpretacja geometryczna: otrzymane liczby sa współrzędnymi punktów przecięcia okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ (1,2)}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ 2}\), z wykresem funkcji \(\displaystyle{ y=|x-1|}\).

[v_vizis]

Dzięki

[MagusDrDee]

Próbowałem robić to zadanie trochę inaczej i otrzymałem tylko jedno rozwiązanie z trzech
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=\left| x-1\right| \\ x ^{2}+y ^{2}-2x-4y+1=0 \end{cases}

x ^{2}-\left| x-1\right| ^{2}-2x-4\left| x-1\right|+1=0

\left| x-1\right| = \begin{cases} x-1, gdy x-1 \ge 0; x \ge 1 \\ -x+1, gdy x-1<0; x<1 \end{cases}

\begin{cases} x<1 \\ x^{2}-(-x+1) ^{2}-2x-4(-x+1)+1=0 \end{cases}

x^{2}-(x ^{2}-2x+1)-2x+4x-4+1=0

4x - 4 = 0

4x = 4

x=1}\)
nie należy do dziedziny, brak rozwiązań dla tego przedziału

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \ge 1 \\ x^{2}-(x-1) ^{2}-2x-4(x-1)+1=0 \end{cases}

x^{2}-x ^{2}+2x-1-2x-4x+5=0

4x=4

x=1

y=0}\)
Nie wiem, gdzie robię błąd.