odległość punktu od paraboli

[BabaJaga]

Wykaż że dla każdego \(\displaystyle{ x _{0} \in <0;1>}\)punkt (\(\displaystyle{ x _{0},y _{0}}\)) leżący na paraboli \(\displaystyle{ y=x ^{2}}\) jest odległy od prostej \(\displaystyle{ y=x}\) o mniej niż \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{6}}\).

[lukasz1804]

Punkty leżące na paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y=x^2}\) mają współrzędne postaci \(\displaystyle{ (x,x^2)}\). Zatem \(\displaystyle{ y_0=x_0^2}\). Ze wzoru na odległość punktu od prostej dostajemy

\(\displaystyle{ \frac{|1\cdot x_0+(-1)\cdot x_0^2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{|x_0-x_0^2|}{\sqrt{2}}=\frac{|x_0||1-x_0|}{\sqrt{2}}=\frac{x_0(1-x_0)}{\sqrt{2}}}\).

Zauważmy w dalszym ciągu, że zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ [0,1]\ni t\mapsto t-t^2\in\mathbb{R}}\) jest przedział \(\displaystyle{ [0,\frac{1}{4}]}\). Stąd otrzymujemy w szczególności \(\displaystyle{ x_0(1-x_0)=x_0-x_0^2\le\frac{1}{4}<\frac{1}{3}}\). Wobec powyższego mamy zatem \(\displaystyle{ \frac{|1\cdot x_0+(-1)\cdot x_0^2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}<\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}}\), co należało pokazać.

[BabaJaga]

skąd wzięło się \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)?