Prosta k przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A=(3,2)}\) i przecina dodatnie półosie układu współrzędnych w takich punktach, że iloczyn ich odległości od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) wynosi \(\displaystyle{ 25}\). Znajdź równanie prostej k.
Proszę o bardzo dokładne rozpisanie tego zadania ze wskazówkami.
Pozdrawiam
Równanie prostej k
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie prostej k
Równanie prostej przecinającej osie układu współrzędnych w punktach \(\displaystyle{ (a,0),(0,b),a,b\neq 0}\) można przedstawić jako:
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\)
Dowód: Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), wówczas
\(\displaystyle{ Aa+C=0 \Rightarrow A=-\frac{C}{a}}\)
\(\displaystyle{ Bb+C=0 \Rightarrow B=-\frac{B}{b}}\)
Stąd równanie tej prostej możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ -\frac{C}{a}x-\frac{C}{b}y=-C|:(-C)}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\), co należało udowodnić
Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\); wówczas, skoro punkt A należy do rozważanej prostej, to:
\(\displaystyle{ \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1}\)
Skoro natomiast iloczyn odległości od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) wynosi \(\displaystyle{ 25}\) oraz wiemy, że \(\displaystyle{ a,b>0}\), to \(\displaystyle{ ab=25}\).
Wystarczy rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1 \\ ab=25 \end{cases}}\)
W liczbach dodatnich.
Powinnaś otrzymać \(\displaystyle{ \frac{x}{5}+\frac{y}{5}=1}\) lub \(\displaystyle{ \frac{x}{\frac{15}{2}}+\frac{y}{\frac{10}{3}}=1}\).
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\)
Dowód: Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), wówczas
\(\displaystyle{ Aa+C=0 \Rightarrow A=-\frac{C}{a}}\)
\(\displaystyle{ Bb+C=0 \Rightarrow B=-\frac{B}{b}}\)
Stąd równanie tej prostej możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ -\frac{C}{a}x-\frac{C}{b}y=-C|:(-C)}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\), co należało udowodnić
Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\); wówczas, skoro punkt A należy do rozważanej prostej, to:
\(\displaystyle{ \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1}\)
Skoro natomiast iloczyn odległości od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) wynosi \(\displaystyle{ 25}\) oraz wiemy, że \(\displaystyle{ a,b>0}\), to \(\displaystyle{ ab=25}\).
Wystarczy rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1 \\ ab=25 \end{cases}}\)
W liczbach dodatnich.
Powinnaś otrzymać \(\displaystyle{ \frac{x}{5}+\frac{y}{5}=1}\) lub \(\displaystyle{ \frac{x}{\frac{15}{2}}+\frac{y}{\frac{10}{3}}=1}\).