Równanie prostej k

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
v_vizis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 349
Rejestracja: 30 sty 2010, o 20:28
Płeć: Kobieta
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 8 razy

Równanie prostej k

Post autor: v_vizis »

Prosta k przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ A=(3,2)}\) i przecina dodatnie półosie układu współrzędnych w takich punktach, że iloczyn ich odległości od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) wynosi \(\displaystyle{ 25}\). Znajdź równanie prostej k.

Proszę o bardzo dokładne rozpisanie tego zadania ze wskazówkami.
Pozdrawiam
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Równanie prostej k

Post autor: Crizz »

Równanie prostej przecinającej osie układu współrzędnych w punktach \(\displaystyle{ (a,0),(0,b),a,b\neq 0}\) można przedstawić jako:
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\)

Dowód: Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\), wówczas
\(\displaystyle{ Aa+C=0 \Rightarrow A=-\frac{C}{a}}\)
\(\displaystyle{ Bb+C=0 \Rightarrow B=-\frac{B}{b}}\)
Stąd równanie tej prostej możemy zapisać jako:
\(\displaystyle{ -\frac{C}{a}x-\frac{C}{b}y=-C|:(-C)}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\), co należało udowodnić

Niech szukana prosta ma równanie \(\displaystyle{ \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}\); wówczas, skoro punkt A należy do rozważanej prostej, to:
\(\displaystyle{ \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1}\)
Skoro natomiast iloczyn odległości od punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) wynosi \(\displaystyle{ 25}\) oraz wiemy, że \(\displaystyle{ a,b>0}\), to \(\displaystyle{ ab=25}\).

Wystarczy rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1 \\ ab=25 \end{cases}}\)
W liczbach dodatnich.

Powinnaś otrzymać \(\displaystyle{ \frac{x}{5}+\frac{y}{5}=1}\) lub \(\displaystyle{ \frac{x}{\frac{15}{2}}+\frac{y}{\frac{10}{3}}=1}\).
ODPOWIEDZ