Wykaż, że równanie jest równaniem okręgu

[Hadar]

Witam.

Mam problem z wykazaniem, że dane równanie jest równaniem okręgu, nie zakładając z góry że nim jest. Proszę o pomoc

Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a \neq b}\), to równanie \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + ax + by + \frac{ab}{2} = 0}\) jest równaniem okręgu. Wyznacz współrzędne środka i długości promienia tego okręgu.

Z góry dziękuję. Pozdrawiam

[kajus]

\(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + ax + by + \frac{ab}{2} = 0\\ \\
S(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) \\ \\
r >0 \\ \\
\sqrt{(-\frac{a}{2})^{2}+(-\frac{b}{2})^{2}-\frac{ab}{2}} > 0 \\ \\
\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{b^{2}}{4}-\frac{ab}{2}} > 0 \\ \\
\sqrt{\frac{1}{4}(a^{2}+b^{2}-2ab)} > 0 \\ \\
\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab}> 0 \\ \\
\frac{1}{2}\sqrt{(a-b)^{2}} > 0 \\ \\
\frac{1}{2}|a-b| > 0 \\ \\}\)

dla \(\displaystyle{ a \neq b}\) jest to zawsze prawdziwe

\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}|a-b|\\\\
S(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2})\\ \\}\)

[Hadar]

Tak ja to właśnie zrobiłem... tyle tylko, że tutaj z góry założyłem, że to jest równanie okręgu i Ty zresztą też...

[emelcia]

a środek nie będzie -a/2 i -b/2 ?

[Hadar]

będzie, ale dalej mi zależ na tym, żeby to zrobić, bez zakładania z góry, że to okrąg..

[emelcia]

Ale robisz obliczenia, które doprowadzają Cię do równana okręgu.
Więc chyba można to uznać, że nie jest to założenie, hmm?

[Hadar]

chodzi o to, że z góry jest założone, że tam r istnieje... A jak to wykazać, bez zakładania, że tamto równanie ma r...

[emelcia]

ja liczyłam trochę inaczej niż ktoś tam pokazał.
Po prostu to, co zostało zbędne po lewej stronie przeniosłam na prawą i wtedy dopiero dokładnie widać, że to równanie okręgu.
I nawet nie pojawia się literka r.

[Hadar]

mogę zobaczyć jak?

[emelcia]

hmm... podaj maila to wyślę zdjęcie, bo do wieczora tego nie przepiszę tym kodem...