Dane są punkty m=(-1,3) i N=(2,5). Na osi OX znajdz:
a)Taki punkt A, aby suma jego odległości od danych punktów była najmniejsza.
Próbowałem liczyć sume odległosći ze wzoru na odległość punktów, ale to dość skomplikowane ;]
Odległość punktów
-
Bartek_1991
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 23 lut 2010, o 19:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Odległość punktów
Szukanym punktem jest punkt przecięcia odcinka \(\displaystyle{ MN'}\) z osią Ox, gdzie \(\displaystyle{ N'}\) jest symetryczny do \(\displaystyle{ N}\) względem osi Ox.
Uzasadnienie: niech \(\displaystyle{ A}\) będzie opisanym punktem i załóżmy, że dla pewnego punktu \(\displaystyle{ A'}\) rozważana suma odległości jest mniejsza. Wtedy jednak \(\displaystyle{ |MA|+|AN|=|MN|}\) (te trzy punkty są wspólliniowe), [\(\displaystyle{ |MA'|+|A'N'|>|MN'|}\) oraz \(\displaystyle{ |A'N'|=|AN'|}\) (bo te odcinki są symetryczne względem Ox), czyli \(\displaystyle{ |MA'|+|NA'|>|MA|+|NA}\). Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.
Zachodzi oczywiście \(\displaystyle{ N'=(2,-5)}\), znjdź równanie prostej \(\displaystyle{ MN'}\), wstaw do otrzymanego równania \(\displaystyle{ y=0}\) i gotowe.
Uzasadnienie: niech \(\displaystyle{ A}\) będzie opisanym punktem i załóżmy, że dla pewnego punktu \(\displaystyle{ A'}\) rozważana suma odległości jest mniejsza. Wtedy jednak \(\displaystyle{ |MA|+|AN|=|MN|}\) (te trzy punkty są wspólliniowe), [\(\displaystyle{ |MA'|+|A'N'|>|MN'|}\) oraz \(\displaystyle{ |A'N'|=|AN'|}\) (bo te odcinki są symetryczne względem Ox), czyli \(\displaystyle{ |MA'|+|NA'|>|MA|+|NA}\). Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.
Zachodzi oczywiście \(\displaystyle{ N'=(2,-5)}\), znjdź równanie prostej \(\displaystyle{ MN'}\), wstaw do otrzymanego równania \(\displaystyle{ y=0}\) i gotowe.