Wyznacz równania stycznych do okręgu \(\displaystyle{ (x+1)^2+(y-1)^2=5}\) przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ M=(4,4)}\).
Jak to liczę ze wzoru odległości punktu A od prostej SM (gdzie S to środek, a A to punkt styczności), to wychodzi jakaś masakra. Jest może jakiś inny sposób?
Równania stycznych przechodzących przez punkt
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Równania stycznych przechodzących przez punkt
Bezpośrednio ze wzoru na odległość punktu od prostej sprawdź, że prosta \(\displaystyle{ x=4}\) nie jest szukaną styczną. Obie z nich mają zatem równania postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{R}}\). Co więcej, ponieważ przechodzą one przez punkt M, to \(\displaystyle{ 4=4a+b}\), czyli \(\displaystyle{ b=4-4a}\), tj. styczne te mają równania postaci \(\displaystyle{ y=ax+4-4a}\).
Ponieważ jednak styczna ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem, to układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases}
(x+1)^2+(y-1)^2=5 \\
y=ax+4-4a
\end{cases}}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Stąd wynika (po podstawieniu drugiego równania do pierwszego), że równanie \(\displaystyle{ (x+1)^2+(ax+3-4a)^2=5}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest to równanie kwadratowe, więc wyznaczenie odpowiednich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) (spodziewamy się dwóch różnych wartości) nie powinno sprawić problemu. Później wystarczy tylko wstawić otrzymane wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) do równania \(\displaystyle{ y=ax+4-4a}\), wyznaczając tym samym równania stycznych.
Ponieważ jednak styczna ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem, to układ równań \(\displaystyle{ \begin{cases}
(x+1)^2+(y-1)^2=5 \\
y=ax+4-4a
\end{cases}}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Stąd wynika (po podstawieniu drugiego równania do pierwszego), że równanie \(\displaystyle{ (x+1)^2+(ax+3-4a)^2=5}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest to równanie kwadratowe, więc wyznaczenie odpowiednich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) (spodziewamy się dwóch różnych wartości) nie powinno sprawić problemu. Później wystarczy tylko wstawić otrzymane wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) do równania \(\displaystyle{ y=ax+4-4a}\), wyznaczając tym samym równania stycznych.