Pole trojkąta
-
olussskaaa
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 1 wrz 2008, o 17:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 12 razy
Pole trojkąta
Dane są punkty \(\displaystyle{ A = (- 1, -3), B = (1, - 1)}\). Wyznaczyć największą wartość pola trójkąta ABC , jeżeli punkt C leży na okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2 +y^2=1}\).
Ostatnio zmieniony 21 lut 2010, o 19:23 przez olussskaaa, łącznie zmieniany 1 raz.
-
olussskaaa
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 1 wrz 2008, o 17:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 12 razy
Pole trojkąta
no właśnie nie wiem, wydaje mi sie ze jest bład i powinna być 1 zamiast l.. zmieniłam już. Tak dziwnie mialam napisane w zadaniu... Bo z parametrem chyba nie da sie tego rozwiązac...
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Pole trojkąta
Moim zdaniem też raczej nie powinno tam być parametru. W każdym razie:
Pole trójkąta to połowa iloczynu podstawy i wysokości, niech więc AB bedzie podstawą trójkąta, szukasz wówczas takiego punktu okręgu, który jest najbardziej oddalony od odcinka AB, czyli od prostej:
\(\displaystyle{ x-y-2=0}\)
Niech \(\displaystyle{ C=(x,y)}\). Ze wzoru na odległośc punktu od prostej masz:
\(\displaystyle{ d= \frac{|x-y-2|}{\sqrt{2}}}\)
Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ y \in <0,1>}\), czyli \(\displaystyle{ y= \sqrt{1-x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ d(x)=\frac{|x-\sqrt{1-x^{2}}-2|}{\sqrt{2}}}\)
Musisz znaleźc największą wartość takiej funkcji na przedziale \(\displaystyle{ <-1,1>}\).
Drugi przypadek: \(\displaystyle{ y \in <-1,0>}\), czyli \(\displaystyle{ y=- \sqrt{1-x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ d(x)=\frac{|x+\sqrt{1-x^{2}}-2|}{\sqrt{2}}}\)
Musisz znaleźc największą wartość takiej funkcji na przedziale \(\displaystyle{ <-1,1>}\).
To może być trochę skomplikowane, łatwo sie pomylić. Mozesz też pójść inną drogą, chociaż bez żadnego dowodu poprawności takiego rozwiązania. Zauważasz, ze prosta \(\displaystyle{ x-y-2=0}\) i podany okrąg nie mają punktów wspólnych. Zgadujesz, że punkt okręgu położony najdalej od tej prostej to jeden z punktów przecięcia prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ x-y-2=0}\), przechodzącej przez środek okręgu, z tym okręgiem.
Szukana prosta prostopadła to oczywicie \(\displaystyle{ -y-x=0}\), jej punktami przecięcia z okręgiem są \(\displaystyle{ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\).
Podstawiasz współrzędne tych punktów do wzoru na odległość i masz odpowiedź.
Pole trójkąta to połowa iloczynu podstawy i wysokości, niech więc AB bedzie podstawą trójkąta, szukasz wówczas takiego punktu okręgu, który jest najbardziej oddalony od odcinka AB, czyli od prostej:
\(\displaystyle{ x-y-2=0}\)
Niech \(\displaystyle{ C=(x,y)}\). Ze wzoru na odległośc punktu od prostej masz:
\(\displaystyle{ d= \frac{|x-y-2|}{\sqrt{2}}}\)
Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ y \in <0,1>}\), czyli \(\displaystyle{ y= \sqrt{1-x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ d(x)=\frac{|x-\sqrt{1-x^{2}}-2|}{\sqrt{2}}}\)
Musisz znaleźc największą wartość takiej funkcji na przedziale \(\displaystyle{ <-1,1>}\).
Drugi przypadek: \(\displaystyle{ y \in <-1,0>}\), czyli \(\displaystyle{ y=- \sqrt{1-x^{2}}}\)
\(\displaystyle{ d(x)=\frac{|x+\sqrt{1-x^{2}}-2|}{\sqrt{2}}}\)
Musisz znaleźc największą wartość takiej funkcji na przedziale \(\displaystyle{ <-1,1>}\).
To może być trochę skomplikowane, łatwo sie pomylić. Mozesz też pójść inną drogą, chociaż bez żadnego dowodu poprawności takiego rozwiązania. Zauważasz, ze prosta \(\displaystyle{ x-y-2=0}\) i podany okrąg nie mają punktów wspólnych. Zgadujesz, że punkt okręgu położony najdalej od tej prostej to jeden z punktów przecięcia prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ x-y-2=0}\), przechodzącej przez środek okręgu, z tym okręgiem.
Szukana prosta prostopadła to oczywicie \(\displaystyle{ -y-x=0}\), jej punktami przecięcia z okręgiem są \(\displaystyle{ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\).
Podstawiasz współrzędne tych punktów do wzoru na odległość i masz odpowiedź.