rzut wektora na oś

[Minnie_]

Znajdź rzut wektora \(\displaystyle{ \vec{a}=[2,1,-1]}\) na oś o kierunku wektora \(\displaystyle{ \vec{b}=[1,2,1]}\). Mógłby mi ktoś pomóc bo nie wiem jak się zabrać do tego zadania.

[Crizz]

Zaczepmy wektor \(\displaystyle{ \vec{a}}\) w początku układu współrzędnych i znajdźmy rzut B jego końca na prostą
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=2t \\z=t \end{cases}}\)

Końcem wektora \(\displaystyle{ \vec{a}}\) jest punkt \(\displaystyle{ (2,1,-1)}\)
Niech ten rzut ma współrzędne \(\displaystyle{ B(t,2t,t)}\), wówczas \(\displaystyle{ \vec{AB}= [t-2,2t-1,t+1]}\) jest prostopadły do powyższej prostej, czyli
\(\displaystyle{ \vec{b} \circ \vec{AB}=0}\)
\(\displaystyle{ [t-2,2t-1,t+1] \circ [1,2,1]=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ B=\left(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{OB}=\left[\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right]}\)

-- 21 lutego 2010, 11:53 --

Inna metoda:

Kąt między wektorami a i b spełnia zależność \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{1}{2}}\)

Długość rzutu wynosi \(\displaystyle{ |\vec{c}|=|\vec{a}|cos\alpha}\), szukamy zatem takiego wektora \(\displaystyle{ \vec{c}=[t,2t,t]}\), że \(\displaystyle{ |\vec{c}|=\frac{\sqrt{6}}{2}}\). Stąd:
\(\displaystyle{ \sqrt{t^{2}+4t^{2}+t^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 6t^{2}=\frac{6}{4}}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\) (skoro \(\displaystyle{ cos\alpha>0}\)), zatem \(\displaystyle{ \vec{c}=\left[\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right]}\)