pare pytań do równania płaszczyzny

[Klaas90]

\(\displaystyle{ A = (1,1,2) B= (9,1,1) C = (1,3,1)}\)
1. Znaleźć równanie płaszczyzny ABC
2. Znaleźć jakikolwiek wektor \(\displaystyle{ \vec{v} \neq \vec{0} = [0,0,0]}\) prostopadły do płaszczyzny ABC.
3. Znaleźć cosinusy obu kątów utworzonych przez płaszczyznę ABC i płaszczyznę o równaniu x + y + z = 1

Ok no więc wiadomo że równanie płaszczyzny opisuje wzór Ax + By + Cz + d = 0. Teraz moje pytanie brzmi czy pod x,y,z mam podstawiac odpowiednio współrzędne tych punktów trzykrotnie uzyskując układ równań?

[silvaran]

Tak, możesz tak zrobić aczkolwiek ja bym spróbował za pomocą tych 3 pkt wyznaczyć dwa wektory, później za pomocą iloczynu wektorowego znaleźć do nich wektor prostopadły i podstawić pod równanie płaszczyzny razem z jedym z punktów
i wtedy te współczynniki, które wyjdą będą równocześnie wektorem prostopadłym do tej płaszczyzny

[BettyBoo]

A w ogóle najlepiej skorzystać z postaci kanonicznej równania płaszczyzny:

\(\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}\)

gdzie \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) to dowolny wektor prostopadły do płaszczyzny (silvaran napisał, jak go najłatwiej znaleźć), a \(\displaystyle{ (x_0,y_0,z_0)}\) to dowolny punkt należący do płaszczyzny.


Kąty, jakie tworzą te płaszczyzny, uzupełniają się do \(\displaystyle{ \pi}\), a można je znaleźć korzystając z tego, że cosinus kąta między płaszczyznami jest równy modułowi (wartości bezwzględnej) cosinusa kąta między wektorami normalnymi płaszczyzn.

Pozdrawiam.

[Klaas90]

ok no to \(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AC} = [-2,8,16]}\) i podstawiamy ten wektor pod ABC ze wzoru na równanie płaszczyzny tak? a punkt pod x,y,z tak?

[BettyBoo]

Jak dla mnie to \(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{AC} = [2,-8,16]}\). Teraz bierzesz dowolny punkt i piszesz równanie płaszczyzny.

Pozdrawiam.

[Klaas90]

Podstawilem do kanonicznej i wyszlo mi 3x -8y +16z -32 = 0. Pewnie źle ale to z racji tego ze juz nie mysle dzis, a musze umiec to na jutro ;/ inaczej pójdę do łopaty ;p
Swoją drogą nie rozumiem dlaczego ci wyszedl inaczej ten iloczyn wektorowy?

[BettyBoo]

Hehe to ja nie rozumiem, dlaczego Tobie inaczej wyszedł I co robi ta trójka w równaniu płaszczyzny?

\(\displaystyle{ \vec{AB}=[8,0,-1],\ \vec{AC}=[0,2,-1]\ \Rightarrow \ \vec{AB} \times \vec{AC}=\begin{vmatrix} i&j&k\\ 8&0&-1\\ 0&2&-1\end{vmatrix}=...=[2,-8,16]}\)

co się liczy ze zwykłego Sarrusa. Wystarczy teraz wziąć wektor \(\displaystyle{ [1,-4,8]}\) i wtedy po podstawieniu punktu \(\displaystyle{ A}\) masz równanie płaszczyzny w postaci:

\(\displaystyle{ (x-1)-4(y-1)+8(z-2)=0\ \Rightarrow \ x-4y+8z-13=0}\)

Pozdrawiam.

[Klaas90]

2 miało byc a nie 3 AB X AC jest zarazem wektorem prostopadłym do plaszczyzny tak?
Wektory normalne płaszczyzn - czyli wektore leżące na owych plaszczyznach tak? (nie kojarzę tego pojęcia) Dzieki wielkie za pomoc tak w ogole

[BettyBoo]

AB X AC jest zarazem wektorem prostopadłym do plaszczyzny tak?

Tak.

Wektory normalne płaszczyzn - czyli wektore leżące na owych plaszczyznach tak? (nie kojarzę tego pojęcia)

Nie. Kierunków równoległych do płaszczyzny jest nieskończenie wiele, za to jest tylko jeden kierunek prostopadły. Wobec tego płaszczyznę definiuje się za pomocą wektora do niej prostopadłego (a prostą w przestrzeni za pomocą wektora równoległego) i taki wektor nazywa się wektorem normalnym.

Pozdrawiam.

[Klaas90]

Ok no to liczymy te cosinusy:
równanie drugiej płaszczyzny: \(\displaystyle{ x + y + z -1 = 0}\) tak wiec Wektor \(\displaystyle{ \vec{X} = [1,1,1]}\) jest do niej prostopadły.
\(\displaystyle{ \vec{Y} = \vec{AB} \times \vec {AC}}\) liczymy długości tych dwóch wektorów, gdyż jest to potrzebne do iloczynu skalarnego: \(\displaystyle{ \left|\vec{Y} \right| = 18 \left|\vec{X} \right| = \sqrt{3}}\)
Wzór na iloczyn skalarny: \(\displaystyle{ \vec{X}*\vec{Y} = \left|\vec{Y} \right|\left|\vec{X} \right|cos \alpha}\) Podstawiamy i \(\displaystyle{ cos \alpha = 1,8 \sqrt{3}}\) Ok no i zgodnie z twierdzeniem które napisałaś jest to jeden z tych cosinusów. A drugi?

Drugie pytanie: Niech \(\displaystyle{ O = (0,0,0)}\)
Obliczyć objętość czworościanu ABCO. Czy ten sposob jest poprawny?: \(\displaystyle{ \frac{1}{6} \left|\left|\begin{array}{ccc}8&0&-1\\0&2&-1\\-1&-1&-2\end{array}\right|\right|}\)

[BettyBoo]

Coś namieszałeś - cosinus Ci wyszedł większy niż 1, a Ty się nie dziwisz??

\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{10}{18\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{27}}\)

Drugi kąt uzupełnia się z pierwszym do \(\displaystyle{ \pi}\), więc \(\displaystyle{ cos\beta=\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha}\)

Co do ostatniego pytania - tak, można to tak obliczyć, skoro już masz podane wektory.

Pozdrawiam.