prosta k przcinająca okrąg

[6m6]

Prosta k o równaniu 3x-2y-6=0 przecina okrąg o środku S=(1,5) w punktach P i Q. Wyznacz równanie tego okręgu wiedząc ,że \(\displaystyle{ \left| PQ\right|=2 \sqrt{13}}\).

[ppolciaa17]

odległość prostej 3x-2y-6=0 od punktu S.. jest na to ładny wzorek:
...\(\displaystyle{ h= \frac{ \left|Ax+By+C \right| }{ \sqrt{A^{2}+B^{2}} }}\)
\(\displaystyle{ h= \sqrt{13}}\)

\(\displaystyle{ (\sqrt{13})^{2} + ( \sqrt{13})^{2} = r^{2}}\)
\(\displaystyle{ r= \sqrt{26}}\)
równanie okręgu:
\(\displaystyle{ (x-1)^{2}+(y-5)^{2}=26}\)

[nieogar]

Mam takie pytanie, skad wiadomo ze odleglosc punktu od prostej jest polowa odcinka PQ ?? Wiem ze fajnie wychodzi (wynik owszem jest dobry), ale czy przypadkiem nie trzeba czegos "doliczyc" zeby bylo wiadomo ze odlegosc punktu o prostej= 1/2 PQ ?

[TheBill]

Przecież masz policzone ze wzoru, że \(\displaystyle{ h= \sqrt{13}}\), tu nie było wykorzystane tego, że \(\displaystyle{ |PQ|=2 \sqrt{13}}\)

[nieogar]

ale potem jest zastosowanie twierdzenia pitagorasa i tam jest znowu pierwiatek z 13 i wlasnie nie wiem skad.

[TheBill]

Bo trójkąt \(\displaystyle{ PQS}\) jest równoramienny, \(\displaystyle{ h}\) jest prostopadłe do \(\displaystyle{ |PQ|}\), więc wysokość dzieli \(\displaystyle{ |PQ|}\) na \(\displaystyle{ 2}\) równe części.