Funkcję \(\displaystyle{ f_{(x)}=-x^2+2}\) odbito symetrycznie względem prostej \(\displaystyle{ y=k}\) , po czym ponownie - względem prostej \(\displaystyle{ x=l}\) . W efekcie otrzymano parabolę \(\displaystyle{ g_{(x)}}\) , której wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych. Wyznacz wzór tej funkcji ze względu na k i l , po czym znajdź wartości tych parametrów.
\(\displaystyle{ k \in R}\)
\(\displaystyle{ l \in R}\)
Przekształcenia wykresu funkcji
-
behemoth
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 13 lut 2010, o 00:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 17 razy
Przekształcenia wykresu funkcji
Symetria względem prostej \(\displaystyle{ y=k}\) wyrażać się będzie takim wzorem:\(\displaystyle{ \begin{cases} x\prime = x \\ y\prime = 2k-y \end{cases}}\)
zaś symetria względem prostej \(\displaystyle{ x = l}\) takim: \(\displaystyle{ \begin{cases} y\prime = y \\ x\prime = 2k-x \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\prime}\) i \(\displaystyle{ y\prime}\) to nowe współrzędne.
-- 17 lutego 2010, o 13:52 --
\(\displaystyle{ y=-x^2+2\xrightarrow{S_{y=k}} 2k-y\prime = -(x\prime)^2+2 \Leftrightarrow y = x^2+2k-2}\)
\(\displaystyle{ y = x^2+2k-2\xrightarrow{S_{x=l}}y\prime =(2l-x\prime)^2+2k-2 \Leftrightarrow y = x^2 - 4lx+4l^2+2k-2}\)
Ostateczny wzór po przekształceniach ma postać: \(\displaystyle{ g(x) = x^2 - 4lx+4l^2+2k-2}\)
Jest to parabola. Z treści zadania wiemy, że jej wierzchołek przechodzi przez początek układu współrzędnych tzn., że zachodzi: \(\displaystyle{ g(0)=0}\) czyli:
\(\displaystyle{ g(0)=4l^2+2k-2=0}\) Stąd wyznaczamy wszystkie \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\)
Są to np. pary: \(\displaystyle{ \begin{cases} k=-1\\l=1\end{cases}}\), \(\displaystyle{ \begin{cases} k=-1\\l=-1\end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{cases} k=1\\l=0\end{cases}}\), ale tylko para \(\displaystyle{ \begin{cases} k=1\\l=0\end{cases}}\) spełnia warunki zadania
zaś symetria względem prostej \(\displaystyle{ x = l}\) takim: \(\displaystyle{ \begin{cases} y\prime = y \\ x\prime = 2k-x \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\prime}\) i \(\displaystyle{ y\prime}\) to nowe współrzędne.
-- 17 lutego 2010, o 13:52 --
\(\displaystyle{ y=-x^2+2\xrightarrow{S_{y=k}} 2k-y\prime = -(x\prime)^2+2 \Leftrightarrow y = x^2+2k-2}\)
\(\displaystyle{ y = x^2+2k-2\xrightarrow{S_{x=l}}y\prime =(2l-x\prime)^2+2k-2 \Leftrightarrow y = x^2 - 4lx+4l^2+2k-2}\)
Ostateczny wzór po przekształceniach ma postać: \(\displaystyle{ g(x) = x^2 - 4lx+4l^2+2k-2}\)
Jest to parabola. Z treści zadania wiemy, że jej wierzchołek przechodzi przez początek układu współrzędnych tzn., że zachodzi: \(\displaystyle{ g(0)=0}\) czyli:
\(\displaystyle{ g(0)=4l^2+2k-2=0}\) Stąd wyznaczamy wszystkie \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\)
Są to np. pary: \(\displaystyle{ \begin{cases} k=-1\\l=1\end{cases}}\), \(\displaystyle{ \begin{cases} k=-1\\l=-1\end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{cases} k=1\\l=0\end{cases}}\), ale tylko para \(\displaystyle{ \begin{cases} k=1\\l=0\end{cases}}\) spełnia warunki zadania