Elipsa - problem

[rafzig155]

Mam takie zadanie do rozwiązania, niby ruszyłem ale nie wiem co dalej.

Znajdź równanie elipsy której odległość między ogniskami wynosi 10, oś wielka zawarta jest w prostej o równaniu y=2x+1, a długość małej osi wynosi 4.

Wszystko fajnie tylko jak zapisać, że ta eplisa porusza się po tej prostej bo tak będzie i jak zapisać to że będzie ona pochylona do osi OX pod pewnym kątem.

I teraz zrobiłem tyle i nie wiem co dalej.

Obliczam a i b.
b mam praktycznie podane bo 2b=4 więc b = 2
a "a" obliczam z pitagorasa jak:
c - promień wodzący z ognisk i kiedy on jest na końcu osi małej to tworzy się trójkąt
więc \(\displaystyle{ c^{2}=5^{2}+2^{2}}\)
co daje \(\displaystyle{ c= \sqrt{29}}\)
więc 2c = \(\displaystyle{ 2\sqrt{29}}\)
i to 2c jest stałe a wiec gdy promień wodzący jest w punkcie gdzie kończy się duża oś to promień wodzący jest taki sam a połowa dużej osi to c-5 czyli \(\displaystyle{ 2\sqrt{29} -5}\) co daje 5,7 z groszami nie ważne to co ci wyjdzie to jest a i podstawiam i mam równanie elipsy o środku w punkcie (0,0)
Wygląda ono następująco
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{(2\sqrt{29} -5)^{2}}+\frac{y^{2}}{9}=1}\)

Dalej przesuwam elipse o 1 do góry czyli do y-1 i otrzymuje:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{(2\sqrt{29} -5)^{2}}+\frac{(y-1)^{2}}{9}=1}\)

No i teraz pozostaje jak ją nachylić i pokazać, że ona się przemieszcza po prostej y=2x. I tego nie wiem.

[BettyBoo]

Coś namieszałeś z tymi osiami i ogniskami....równanie elipsy ma postać

\(\displaystyle{ \frac{x^{2}}{29}+\frac{y^{2}}{4}=1}\)

Najlepiej od razu tutaj uwzględnij, że środek jest w punkcie \(\displaystyle{ (a,0),\ a\in\mathbb{R}}\), czyli masz

\(\displaystyle{ \frac{(x-a)^{2}}{29}+\frac{y^{2}}{4}=1}\)

A teraz obróć układ współrzędnych tak, aby oś wielka znalazła się na podanej prostej - masz gotowy wzór na współrzędne po obrocie.

Pozdrawiam.

[rafzig155]

No tak z tą 9 się pomyliłem ma być 4 ale ta Babka co nam dała to pytanie powiedziała że trzeba to napisać z definicji elipsy. nie wiem o co jej chodziło. A z tym \(\displaystyle{ (y-1)^{2}}\) to chyba dobrze bo przesuwam elipsę o 1 do góry. Wtedy równanie dużej osi ma się zawierać w prostej y=2x. No a da się to zrobić z parametrem a i bez obracania układu współrzędnych. Tylko żeby jakoś obrócić tą elipsę o ten kąt. Bo ten kąt to będzie \(\displaystyle{ tg\alpha=2}\) tak chyba będzie.

Sam zobacz wolframalpha rysuje dobrą elipsę z mojego wzoru tylko teraz pozostaje jej nachylenie i uzależnienie od parametru.

% ... E2%2F4%3D1

[BettyBoo]

Obrócić elipsę=obrócić układ, więc nie bardo rozumiem, o co Ci teraz chodzi - to ma być z definicji czy można wykorzystać obrót? Zdecyduj się.

Pozdrawiam.

[rafzig155]

Ma być z definicji.

[BettyBoo]

Jeśli ma być z definicji, to prawie wszystko co zrobiłeś jest nie na temat.

Jak wygląda definicja, to chyba wiesz? Niech ogniska mają współrzędne \(\displaystyle{ (a,2a+1),\ (b,2b+1)}\). Najpierw ustalasz zależność między \(\displaystyle{ a,b}\) korzystając z długości osi. A potem korzystasz z definicji elipsy.

Pozdrawiam.

[rafzig155]

No właśnie nie za bardzo wiem jak się do tego zabrać. Jak byś mogła mi to napisać. Tak od początku do końca.

Mi wyszło coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{(x-a)^{2}}{(2\sqrt{29} -5)^{2}}+\frac{(y-2a-1)^{2}}{9}=1}\)

Teraz ta elipsa niby porusza się po prostej y=2x+1 ale duża oś nie jest nachylona do osi OX pod takim kątem jak ta prosta. Ja bym to tak widizał.

Był bym wdzięczny jeżeli napisała być to dla mnie z definicji tak łopatologicznie. Bo jutro egzamin :/

[BettyBoo]

A co Ty wyprawiasz z tym mianownikiem? I dlaczego znowu dążysz do korzystania z obrotu, z którego podobno nie możesz korzystać...?


Po pierwsze, długość osi wielkiej tej elipsy to \(\displaystyle{ 2\sqrt{5^2+2^2}}\)


Po drugie, jeśli ogniska mają współrzędne \(\displaystyle{ (a,2a+1),\ (b,2b+1)}\) a odległość między nimi jest równa 10, to

\(\displaystyle{ (b-a)^2+(2b-2a)^2=100\ \Rightarrow \ (b-a)^2=20}\)

Możemy założyć, że \(\displaystyle{ a<b}\) i wtedy \(\displaystyle{ b=a+2\sqrt{5}}\). Zatem ogniska mają współrzędne

\(\displaystyle{ F_1(a,2a+1),\ F_2(a+2\sqrt{5},2a+1+4\sqrt{5})}\)


Wobec tego - z definicji - punkt \(\displaystyle{ P(x,y)}\) leży na elipsie jeśli spełnia równanie

\(\displaystyle{ |PF_1|+|PF_2|=2\sqrt{29}}\)

Podstawić, uprościć i gotowe - zakładam, że działania na pierwiastkach potrafisz wykonywać, więc pozwolisz, że nie będę się bawić w rozpisywanie tego.

Pozdrawiam.

[rafzig155]

No wszystko fajnie tylko w pytaniu było znajdź równanie elipsy. Czy po podstawieniu będzie to równianie elipsy?

[BettyBoo]

Szczerze mówiąc nie bardzo rozumiem Twoje pytanie - o co właściwie pytasz? Na czym polega Twój problem? Czego nie rozumiesz? Bo naprawdę nie wiem, co mam wyjaśnić...

To równanie, które zapisałam to jest równanie elipsy. Kwestia tylko jak bardzo musisz je uprościć (czyli do jakiej ostatecznej postaci doprowadzić). Od tego będzie zależało, co musisz z nim dalej zrobić.

Pozdrawiam.

[rafzig155]

Ok już wyjaśniłaś. Dzięki wielkie jeszcze raz.

A jeszcze jedno:
\(\displaystyle{ \left|PF_{1} \right|}\)

To jest odległość punku P od punktu F czy to jest punkt P pomnożony przez punkt F?

Aha i czy długość osi małej była tylko w zadaniu po to żeby wyliczyć długość osi wielkiej?


Coś nie bardzo przy twoim równaniu wyszło mi że dla a=0 jest to okrąg, dla a=1 rówinież. Proszę oto dowód:

... F2%29%3D58

O ile oczywiście dobrze rozpisałem wszystko.

[BettyBoo]

A jeszcze jedno:
\(\displaystyle{ \left|PF_{1} \right|}\)

To jest odległość punku P od punktu F czy to jest punkt P pomnożony przez punkt F?

Odległość.

Aha i czy długość osi małej była tylko w zadaniu po to żeby wyliczyć długość osi wielkiej?

Tak.

Coś nie bardzo przy twoim równaniu wyszło mi że dla a=0 jest to okrąg, dla a=1 rówinież. Proszę oto dowód:

... F2%29%3D58

O ile oczywiście dobrze rozpisałem wszystko.

Niemożliwe, żebyś dostał z tego okrąg. Musiałeś się pomylić przy rozpisywaniu, ponieważ to równanie, które zapisałam, jest równaniem elipsy niezależnie od wartości zmiennej \(\displaystyle{ a}\).

Pozdrawiam.