Wyznacz współrzędne punktu B

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Inspector
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 16 gru 2009, o 00:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tokyo
Podziękował: 17 razy

Wyznacz współrzędne punktu B

Post autor: Inspector »

Dana jest prosta l o równani y= \(\displaystyle{ \frac{1}{3}x}\)-2 i punkt A(4,-4). Wyznacz współrzędne punktu B Symetrycznego do punktu A względem prostej l.

Założyłem że Punkt A i B to punkty należące do pewnej prosstej i wyznaczyłem jej wzór: y=-3x+8
Proste prostopadłe przecinają się w pewnym punkcie, wyznaczyłem go H(3,-1), policzyłem też dł. odcinka AH=\(\displaystyle{ \sqrt{1+9}}\) = \(\displaystyle{ \sqrt{10}}\)
Przyjąłem że współrzędne punktu B to (x,-3x+8), aby wyznaczyć współrzędne punktu B przyrównałem dł.prostej l do AB(podstawiając za y -3x+8) otrzymałem równanie kwadratowe \(\displaystyle{ x^{2}}\)-6x+8=0, obliczyłem x1=2 x2=4 potem podstawiając za x x1 i x2 do równania prostej AB otrzymałem te współrzędne (2,2). Zadanie jest rozwiązane ale chciałbym zapytać czy ktoś zna inną metodę na wyznaczenie tych współrzędnych, łatwiejszą do zapamiętania i opanowania?
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

Wyznacz współrzędne punktu B

Post autor: klaustrofob »

wyznaczyłeś punkt H. jest on środkiem odcinka AA', gdzie A' jest szukanym punktem. wzór na wsp. środka to \(\displaystyle{ (x_H, y_H)=(\frac{x_A + x_{A'}}{2},\frac{y_A + y_{A'}}{2})}\). wielkości po lewej znasz, po prawej znasz \(\displaystyle{ x_A}\) i \(\displaystyle{ y_A}\). stąd wyliczasz współrzędne A'.

w Twoim przypadku \(\displaystyle{ (3,-1)=(\frac{4+x}{2},\frac{-4+y}{2})}\), gdzie dla krótkości współrzędne A' oznaczyłem przez x i y. stąd faktycznie x=2, y=2.
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Wyznacz współrzędne punktu B

Post autor: Crizz »

Zrób wszystko do momentu wyznaczenia punktu H, a potem skorzystaj z tego, że \(\displaystyle{ \vec{AH}=\vec{HB}}\), czyli:
\(\displaystyle{ [-1,3]=[x_{B}-3,y_{B}+1]}\)
\(\displaystyle{ B=(2,2)}\)
ODPOWIEDZ