Symetria środkowa - 3 zadania...

jawron · Post autor: **jawron** » 9 wrz 2006, o 14:59

Witam, mam problem z trzema zadankami... Jeśli można to proszę o pomoc

1 Wyprowadzić wzór na symetrię środkową względem punktu O(a,b)
2 Pokazać, że nie istnieje trójkąt środkowosymetryczny.
3. Czy istnieją figury posiadające dokładnie 2, 3, 2006 środków symetrii? Podać przykłady.

I jeszcze mały komentarz...

Ad 1.

Nie wiem czy dobrze to zapiszę, ale wyszło mi: \(\displaystyle{ S_{o}(x, y)=(2a-x, 2b-y)}\)
I nie wiem czy to jest dobre ??:

Ad 2.

Nie mam pojęcia jak to rozwiązać, wiem że nie istnieje, ale jak to udowodnić ??:

Ad 3.

Wyszło mi że nie istnieje, ale mam problem taki jak powyżej (ad 2.)

Z góry dziękuję za pomoc

Comma · Post autor: **Comma** » 9 wrz 2006, o 17:52

1. dobrze
2. Nie wiem o jaki typ dowodu Ci chodzi, ale aby istniała symetria środkowa każdy punkt musi być przezkształcany w inny punkt, każdy wierzchołek w innych wierzchołek. Co za tym idzie wierzchołki są przekształacane parami na siebie. Tak więc nie istnieje taka figura, która ma środek symetrii, a ma nieparzystą ilość wierzchołków.
3. Jak Ci "wyszło"?

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 9 wrz 2006, o 18:00

Symetria środkowa o środku p inaczej symetria względem punktu P jest to odwzorowanie geometryczne SP płaszczyzny lub przestrzeni takie, że SP(Q) = R wtedy i tylko wtedy, gdy punkt P, nazywany środkiem symetrii środkowej, jest środkiem odcinka QR. Punkty Q i R nazywa się punktami symetrycznymi względem środka symetrii P. Więc musisz okrelić po prostu wzór na środek odcinka. Mając dane dwa punkty:
\(\displaystyle{ A=(a_{1},a_{2})}\)
\(\displaystyle{ B=(b_{1},b_{2})}\)
wówczas środek odcinka AB ma współrzędne:
\(\displaystyle{ (\frac{a_{1}+b_{1}}{2},\frac{a_{2}+b_{2}}{2})}\)
mozna wiec mówić, że to jest po prostu średnia arytmetyczna współrzednych obu punktów.

jawron · Post autor: **jawron** » 9 wrz 2006, o 23:39

Lady Tilly, mi chodzi o to, że mam podane przykładowo punkt A i środek symetrii O, a muszę obliczyć współrzędne punktu B.

Comma, w trzecim wyszło mi, że nie istnieje (nie byłem w stanie podać żadnego przykładu) - albo jest jeden środek symetrii, albo nieskończenie wiele (prosta), ale nie byłem w stanie tego wyjaśnić w żaden racjonalny sposób...

Co do drugiego - prawdopodobnie jakiś dowód otrzymamy na lekcji, ale ja potrzebuję czasu żeby go przyswoić :/ a czasu na lekcji nie ma...