Znaleźć współrzędne punktów przecięcia sfery \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=1}\) i prostej L przechodzącej przez początek układu współrzędnych i równoległej do wektora \(\displaystyle{ \vec{V}=[1,1,1]}\).
Jak rozwiązać takie zadanie?
Współrzędne punktów przecięcia sfery i prostej
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Współrzędne punktów przecięcia sfery i prostej
Podana prosta ma współrzędne postaci:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases}}\)
Szukamy zatem takiego punktu \(\displaystyle{ A=(t,t,t)}\), którego współrzędne spęłniają jednocześnie równanie sfery, czyli takiego t, że zachodzi:
\(\displaystyle{ t^{2}+t^{2}+t^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ 3t^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ t= \pm \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
Istnieją zatem dwa takie punkty:
\(\displaystyle{ A=\left( \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ B=\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=t \\ z=t \end{cases}}\)
Szukamy zatem takiego punktu \(\displaystyle{ A=(t,t,t)}\), którego współrzędne spęłniają jednocześnie równanie sfery, czyli takiego t, że zachodzi:
\(\displaystyle{ t^{2}+t^{2}+t^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ 3t^{2}=1}\)
\(\displaystyle{ t^{2}=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ t= \pm \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
Istnieją zatem dwa takie punkty:
\(\displaystyle{ A=\left( \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ B=\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}\)