Zad. 3
Oblicz odległość \(\displaystyle{ d( P_{1},l)}\)
gdy \(\displaystyle{ P_{1}(1,2,0)}\)
rówanie kierunkowe \(\displaystyle{ l= \frac{x-2}{1}= \frac{y+1}{2}= \frac{z-1}{2}}\)
obliczyć odległośc punktu od prostej
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
obliczyć odległośc punktu od prostej
Przepisujesz na postać parametryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t+2 \\ y=2t-1 \\z=2t+1 \end{cases}}\)
Szukasz takiego \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}}\), że \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} \perp l}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2} \in l}\).
Niech \(\displaystyle{ P_{2}=( t+2,2t-1,2t+1 )}\), wówczas \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}= [t+1,2t-3,2t+1]}\)
Wektorem kierunkowym prostej l jest np. \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,2,2]}\)
Skoro \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} \perp l}\) to:
\(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} \circ \vec{u}=0}\)
\(\displaystyle{ [t+1,2t-3,2t+1] \circ [1,2,2]=0}\)
\(\displaystyle{ 9t-3=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} =\left[\frac{4}{3},-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right]}\)
Szukana odległość to długość \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}}\):
\(\displaystyle{ |\vec{P_{1}P_{2}}|=\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t+2 \\ y=2t-1 \\z=2t+1 \end{cases}}\)
Szukasz takiego \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}}\), że \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} \perp l}\) oraz \(\displaystyle{ P_{2} \in l}\).
Niech \(\displaystyle{ P_{2}=( t+2,2t-1,2t+1 )}\), wówczas \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}= [t+1,2t-3,2t+1]}\)
Wektorem kierunkowym prostej l jest np. \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,2,2]}\)
Skoro \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} \perp l}\) to:
\(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} \circ \vec{u}=0}\)
\(\displaystyle{ [t+1,2t-3,2t+1] \circ [1,2,2]=0}\)
\(\displaystyle{ 9t-3=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} =\left[\frac{4}{3},-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right]}\)
Szukana odległość to długość \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}}\):
\(\displaystyle{ |\vec{P_{1}P_{2}}|=\sqrt{10}}\)
-
seites
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 14 lut 2010, o 13:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Huta
- Podziękował: 2 razy
obliczyć odległośc punktu od prostej
nie rozumiem ;/ skad sie wziął \(\displaystyle{ \vec{u}}\) , co to jest t ?jak z tego \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}} =\left[\frac{4}{3},-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right]}\)wyszło \(\displaystyle{ |\vec{P_{1}P_{2}}|=\sqrt{10}}\)
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
obliczyć odległośc punktu od prostej
OK, to od początku.
Wiesz, co to jest postać parametryczna równania prostej?
Masz podane równanie w postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}}\)
Tę samą prostą możesz przedstawić w postaci parametrycznej (parametrem będzie tu t):
\(\displaystyle{ [x,y,z]=t[a,b,c]+[x_{0},y_{0},z_{0}]}\)
(ja to zapisuję w postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=at+x_{0} \\ y=bt+y_{0} \\ z=ct+z_{0} \end{cases}}\)
gdyż ta forma zapisu jest wygodniejsza)
Podstawiając do tego równania wszystkie liczby rzeczywiste w miejsce t, otrzymujesz wszystkie punkty prostej l (tu utożsamiane z wektorem \(\displaystyle{ [x,y,z]}\)).
Przykładowo, w Twoim zadaniu prostą można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ [x,y,z]=t[1,2,2]+[2,-1,1]}\)
Kładąc \(\displaystyle{ t=0}\), otrzymujesz \(\displaystyle{ [x,y,z]=[2,-1,1]}\), kładąc \(\displaystyle{ t=1}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ [x,y,z]=[3,1,3]}\). Na tej podstawie możesz stwierdzić, że punkty \(\displaystyle{ (2,-1,1),(3,1,3)}\) należą do prostej l. Podstawiając wszystkie inne możliwe wartości t, otrzymasz wszystkie punkty należące do prostej.
Wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[a,b,c]}\) jest nazywany wektorem kierunkowym prostej, bo wyznacza jej kierunek (tzn. prosta jest do niego równoległa). W Twoim zadaniu \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,2,2]}\).
Szukasz długości odcinka prostopadłego do l, łączącego punkt \(\displaystyle{ P_{1}}\) z rzutem tego punktu na prostą l. Idea tego rozwiązania polega na znalezieniu wektora o tych samych własnościach, a następnie policzenia jego długości.
Oznaczmy rzut punktu \(\displaystyle{ P_{1}}\) na prostą l przez \(\displaystyle{ P_{2}}\).
Zauważ, że \(\displaystyle{ [x,y,z]=t[1,2,2]+[2,-1,1]= [t+2,2t-1,2t+1]}\),zatem każdy punkt prostej l jest postaci \(\displaystyle{ (t+2,2t-1,2t+1)}\) dla pewnego t. \(\displaystyle{ P_{2}}\) nalezy do tej prostej, więc jego współrzędne można przedstawić w tej postaci. Niech więc \(\displaystyle{ P_{2}=(t+2,2t-1,2t+1)}\). W takim razie \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}=[(t+2)-1,(2t-1)-2,(2t+1)-0]=[t+1,2t-3,2t+1]}\).
Skoro wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) jest równoległy do prostej l, a wektor \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}}\) ma być prostopadły do prostej l, to musi być prostopadły także do wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\). Dwa niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero. Obliczyłem tam iloczyn skalarny, wyszedł \(\displaystyle{ 9t-3}\). Ten iloczyn skalarny ma być równy zeru, skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ t=\frac{1}{3}}\).
Znaleźliśmy zatem wektor \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}}\): \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}=\left[\frac{4}{3},-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right]}\). Jest to wektor łączący punkt \(\displaystyle{ P_{1}}\) z rzutem punktu \(\displaystyle{ P_{1}}\) na prostą l, czyli jego długość jest równa odległości \(\displaystyle{ P_{1}}\) od prostej l.
Nie wierzę, że nie znasz wzoru na długość wektora, ale na wszelki wypadek: długość wektora \(\displaystyle{ [x_{1},x_{2},...,x_{n}]}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}\). W szczególności, gdy \(\displaystyle{ n=3}\) (przestrzeń trójwymiarowa), długość wektora \(\displaystyle{ [x,y,z]}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\). Korzystamy z tego wzoru, by obliczyć długość znalezionego wektora \(\displaystyle{ |\vec{P_{1}P_{2}}|=\sqrt{ \left(\frac{4}{3}\right)^{2} + \left(-\frac{7}{3}\right)^{2} + \left(\frac{5}{3}\right)^{2} }=\sqrt{10}}\).
Wiesz, co to jest postać parametryczna równania prostej?
Masz podane równanie w postaci ogólnej:
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}}\)
Tę samą prostą możesz przedstawić w postaci parametrycznej (parametrem będzie tu t):
\(\displaystyle{ [x,y,z]=t[a,b,c]+[x_{0},y_{0},z_{0}]}\)
(ja to zapisuję w postaci
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=at+x_{0} \\ y=bt+y_{0} \\ z=ct+z_{0} \end{cases}}\)
gdyż ta forma zapisu jest wygodniejsza)
Podstawiając do tego równania wszystkie liczby rzeczywiste w miejsce t, otrzymujesz wszystkie punkty prostej l (tu utożsamiane z wektorem \(\displaystyle{ [x,y,z]}\)).
Przykładowo, w Twoim zadaniu prostą można przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ [x,y,z]=t[1,2,2]+[2,-1,1]}\)
Kładąc \(\displaystyle{ t=0}\), otrzymujesz \(\displaystyle{ [x,y,z]=[2,-1,1]}\), kładąc \(\displaystyle{ t=1}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ [x,y,z]=[3,1,3]}\). Na tej podstawie możesz stwierdzić, że punkty \(\displaystyle{ (2,-1,1),(3,1,3)}\) należą do prostej l. Podstawiając wszystkie inne możliwe wartości t, otrzymasz wszystkie punkty należące do prostej.
Wektor \(\displaystyle{ \vec{u}=[a,b,c]}\) jest nazywany wektorem kierunkowym prostej, bo wyznacza jej kierunek (tzn. prosta jest do niego równoległa). W Twoim zadaniu \(\displaystyle{ \vec{u}=[1,2,2]}\).
Szukasz długości odcinka prostopadłego do l, łączącego punkt \(\displaystyle{ P_{1}}\) z rzutem tego punktu na prostą l. Idea tego rozwiązania polega na znalezieniu wektora o tych samych własnościach, a następnie policzenia jego długości.
Oznaczmy rzut punktu \(\displaystyle{ P_{1}}\) na prostą l przez \(\displaystyle{ P_{2}}\).
Zauważ, że \(\displaystyle{ [x,y,z]=t[1,2,2]+[2,-1,1]= [t+2,2t-1,2t+1]}\),zatem każdy punkt prostej l jest postaci \(\displaystyle{ (t+2,2t-1,2t+1)}\) dla pewnego t. \(\displaystyle{ P_{2}}\) nalezy do tej prostej, więc jego współrzędne można przedstawić w tej postaci. Niech więc \(\displaystyle{ P_{2}=(t+2,2t-1,2t+1)}\). W takim razie \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}=[(t+2)-1,(2t-1)-2,(2t+1)-0]=[t+1,2t-3,2t+1]}\).
Skoro wektor \(\displaystyle{ \vec{u}}\) jest równoległy do prostej l, a wektor \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}}\) ma być prostopadły do prostej l, to musi być prostopadły także do wektora \(\displaystyle{ \vec{u}}\). Dwa niezerowe wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny wynosi zero. Obliczyłem tam iloczyn skalarny, wyszedł \(\displaystyle{ 9t-3}\). Ten iloczyn skalarny ma być równy zeru, skąd otrzymujemy \(\displaystyle{ t=\frac{1}{3}}\).
Znaleźliśmy zatem wektor \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}}\): \(\displaystyle{ \vec{P_{1}P_{2}}=\left[\frac{4}{3},-\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right]}\). Jest to wektor łączący punkt \(\displaystyle{ P_{1}}\) z rzutem punktu \(\displaystyle{ P_{1}}\) na prostą l, czyli jego długość jest równa odległości \(\displaystyle{ P_{1}}\) od prostej l.
Nie wierzę, że nie znasz wzoru na długość wektora, ale na wszelki wypadek: długość wektora \(\displaystyle{ [x_{1},x_{2},...,x_{n}]}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}}\). W szczególności, gdy \(\displaystyle{ n=3}\) (przestrzeń trójwymiarowa), długość wektora \(\displaystyle{ [x,y,z]}\) wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\). Korzystamy z tego wzoru, by obliczyć długość znalezionego wektora \(\displaystyle{ |\vec{P_{1}P_{2}}|=\sqrt{ \left(\frac{4}{3}\right)^{2} + \left(-\frac{7}{3}\right)^{2} + \left(\frac{5}{3}\right)^{2} }=\sqrt{10}}\).
-
hiszpan5
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 18 gru 2011, o 16:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z nienacka
- Podziękował: 1 raz
obliczyć odległośc punktu od prostej
nie prościej było by to wyliczyć ze wzoru:
\(\displaystyle{ d\left( P,A\right)=\left| \left| \left( a-p\right)-\left( \left( a-p\right) \cdot n \right)n \right| \right|}\)
gdzie:
p - współrzędne punktu
A - prosta w postaci parametrycznej
n - wektor kierunkowy prostej A
a - ustalony punkt prostej
\(\displaystyle{ A= \begin{cases} x=a+nt \\ y=a+nt \\ z=a+nt \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ d\left( P,A\right)=\left| \left| \left( a-p\right)-\left( \left( a-p\right) \cdot n \right)n \right| \right|}\)
gdzie:
p - współrzędne punktu
A - prosta w postaci parametrycznej
n - wektor kierunkowy prostej A
a - ustalony punkt prostej
\(\displaystyle{ A= \begin{cases} x=a+nt \\ y=a+nt \\ z=a+nt \end{cases}}\)