Dany punkt, prosta. Wyliczyć płaszczyznę zawierającą owy punkt i prostą oraz odległość punktu od prostej. \(\displaystyle{ P0(1,2,-1)}\), a \(\displaystyle{ L: x-1=2y=-z}\) .
Jakieś pomysły? Albo wskazówki? Przynajmniej w jaki sposób wydobyć wektor z tej prostej L.
Pozdrawiam
Plaszczyzna i prosta.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Plaszczyzna i prosta.
Jak masz daną prostą w postaci \(\displaystyle{ x-1=\frac{y}{\frac{1}{2}}=\frac{z}{-1}}\), to jej wektor kierunkowy odczytujesz z mianowników: \(\displaystyle{ \vec{u}=\left[1,\frac{1}{2},-1\right]}\). Możesz go sobie pomnożyć przez 2, żeby było wygodniej: \(\displaystyle{ \vec{v}=[2,1,-2]}\). Niech \(\displaystyle{ A=(1,2,-1)}\) (przepraszam za zmianę oznaczenia, odruch).
Weź dowolny punkt prostej, np. \(\displaystyle{ B=(1,0,0)}\) i wyznacz wektor AB: \(\displaystyle{ \vec{AB}=[0,-2,1]}\). Znasz już dwa nierównoległe wektory należące do szukanej płaszczyzny (tzn. \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\)), ich iloczyn wektorowy jest wektorem normalnym płaszczyzny.
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{v}=[3,2,4]}\), zatem równanie płaszczyzny możesz zapisać jako
\(\displaystyle{ 3(x-x_{0})+2(y-y_{0})+4(z-z_{0})=0}\), gdzie \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) jest dowolnym punktem tej płaszczyzny (możesz tu podstawić np. punkt B).
Ostatecznie otrzymujesz równanie płaszczyzny w postaci \(\displaystyle{ 3x+2y+4z-3=0}\).
Co do szukania odległości: musisz najpierw znaleźć taki wektor AP, że P jest punktem danej prostej, a sam wektor jest prostopadły do tej prostej.
Przepisujesz równanie prostej na postać parametryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+1 \\ y=t \\ z=-2t \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ P=(2t+1,t,-2t)}\), wówczas \(\displaystyle{ \vec{PA}= [2t,t-2,-2t+1]}\)
Skoro ten wektor ma być prostopadły do prostej l, to iloczyn skalarny wektora PA i wektora kierunkowego prostej jest równy zeru:
\(\displaystyle{ \vec{PA} \circ \vec{v}=0}\)
\(\displaystyle{ [2t,t-2,-2t+1] \circ [2,1,-2]=0}\)
\(\displaystyle{ 9t-4=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{4}{9}}\)
\(\displaystyle{ \vec{PA}=\left[\frac{8}{9},-\frac{14}{9},\frac{1}{9}\right]}\)
Znaleziony wektor ma początek w punkcie A i koniec w rzucie prostokątnym punktu A na prostą l, zatem długość tego wektora jest równa odległości punktu A od prostej l:
\(\displaystyle{ |\vec{PA}|=\frac{\sqrt{29}}{3}}\)
(wynik wyszedł nietypowy, więc może sprawdź jeszcze wszystkie obliczenia).
Weź dowolny punkt prostej, np. \(\displaystyle{ B=(1,0,0)}\) i wyznacz wektor AB: \(\displaystyle{ \vec{AB}=[0,-2,1]}\). Znasz już dwa nierównoległe wektory należące do szukanej płaszczyzny (tzn. \(\displaystyle{ \vec{AB}}\) i \(\displaystyle{ \vec{v}}\)), ich iloczyn wektorowy jest wektorem normalnym płaszczyzny.
\(\displaystyle{ \vec{AB} \times \vec{v}=[3,2,4]}\), zatem równanie płaszczyzny możesz zapisać jako
\(\displaystyle{ 3(x-x_{0})+2(y-y_{0})+4(z-z_{0})=0}\), gdzie \(\displaystyle{ (x_{0},y_{0},z_{0})}\) jest dowolnym punktem tej płaszczyzny (możesz tu podstawić np. punkt B).
Ostatecznie otrzymujesz równanie płaszczyzny w postaci \(\displaystyle{ 3x+2y+4z-3=0}\).
Co do szukania odległości: musisz najpierw znaleźć taki wektor AP, że P jest punktem danej prostej, a sam wektor jest prostopadły do tej prostej.
Przepisujesz równanie prostej na postać parametryczną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2t+1 \\ y=t \\ z=-2t \end{cases}}\)
Niech \(\displaystyle{ P=(2t+1,t,-2t)}\), wówczas \(\displaystyle{ \vec{PA}= [2t,t-2,-2t+1]}\)
Skoro ten wektor ma być prostopadły do prostej l, to iloczyn skalarny wektora PA i wektora kierunkowego prostej jest równy zeru:
\(\displaystyle{ \vec{PA} \circ \vec{v}=0}\)
\(\displaystyle{ [2t,t-2,-2t+1] \circ [2,1,-2]=0}\)
\(\displaystyle{ 9t-4=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{4}{9}}\)
\(\displaystyle{ \vec{PA}=\left[\frac{8}{9},-\frac{14}{9},\frac{1}{9}\right]}\)
Znaleziony wektor ma początek w punkcie A i koniec w rzucie prostokątnym punktu A na prostą l, zatem długość tego wektora jest równa odległości punktu A od prostej l:
\(\displaystyle{ |\vec{PA}|=\frac{\sqrt{29}}{3}}\)
(wynik wyszedł nietypowy, więc może sprawdź jeszcze wszystkie obliczenia).